Пример счетно-компактного, но не компактного.

[Rich]

В КФ написано:
Рассмотрим множество $X$всех порядковых чисел, меньших первого несчетного порядкового числа $\omega_1$.Назовем интервалом $(\alpha,\beta)$ в $X$ совокупность всех порядковых чисел $\gamma$ , удовлетворящих неравенствам $\alpha <\gamma < \beta$. Открытым множеством в $X$ назовем объединение произвольного числа интервалов.
Легко проверить, что построенное пространство счетно-компактно, но не компактно.

Для счетной-компакности надо взять произвольное бесконечное подмножество и доказать, что у него всегда будет предельная точка. Но разве в данном пространстве бесконечные подмножества имеют определенный вид?

Для компактности достачно ли взять произвольное несчетное объединение интервалов(покрытие) и сказать, что конечным числом мы не покроем? Почему можно так утверждать?

[Someone]

Ссылки надо давать точнее, чтобы читателям не надо было гадать, что такое "КФ" и где там искать нужный фрагмент. А цитаты следует оформлять с помощью тега Quote, чтобы сразу было видно, где цитата, а где ваш собственный текст.

Rich в сообщении #1067884 писал(а):

Назовем интервалом $(\alpha,\beta)$ в $X$ совокупность всех порядковых чисел $\gamma$ , удовлетворящих неравенствам $\alpha <\gamma < \beta$. Открытым множеством в $X$ назовем объединение произвольного числа интервалов.

Здесь определение топологии чуть-чуть неточное, так как порядковое число (ординал) $0$ ни в одном из этих интервалов не содержится. В данном случае можно просто добавить, что множество $\{0\}$ тоже считается "интервалом", а вообще в упорядоченном множестве $X$ в качестве предбазы порядковой топологии берётся семейство множеств двух видов: $\{x\in X:x<a\}$ и $\{x\in X:x>a\}$ для всех $a\in X$, а базу образуют всевозможные пересечения конечных наборов таких множеств.

Rich в сообщении #1067884 писал(а):

Но разве в данном пространстве бесконечные подмножества имеют определенный вид?

Вопрос непонятен. Что значит "определённый вид"?
Совет: покажите, что каждое бесконечное множество ординалов содержит строго возрастающую последовательность $\alpha_1<\alpha_2<\ldots<\alpha_n<\ldots$ и укажите для этой последовательности предельную точку.

Rich в сообщении #1067884 писал(а):

Для компактности достачно ли взять произвольное несчетное объединение интервалов(покрытие) и сказать, что конечным числом мы не покроем? Почему можно так утверждать?

Не надо брать произвольное несчётное покрытие. Укажите какое-нибудь конкретное.

[Rich]

Someone в сообщении #1067970 писал(а):

Здесь определение топологии чуть-чуть неточное, так как порядковое число (ординал) $0$ ни в одном из этих интервалов не содержится. В данном случае можно просто добавить, что множество $\{0\}$ тоже считается "интервалом", а вообще в упорядоченном множестве $X$ в качестве предбазы порядковой топологии берётся семейство множеств двух видов: $\{x\in X:x<a\}$ и $\{x\in X:x>a\}$ для всех $a\in X$, а базу образуют всевозможные пересечения конечных наборов таких множеств.

$\{0\}$ тут играет роль пустого множества или получается в ходе пересечения?

Someone в сообщении #1067970 писал(а):

Совет: покажите, что каждое бесконечное множество ординалов содержит строго возрастающую последовательность $\alpha_1<\alpha_2<\ldots<\alpha_n<\ldots$ и укажите для этой последовательности предельную точку.

Явно $ \omega_1$ предельная точка.

Someone в сообщении #1067970 писал(а):

Не надо брать произвольное несчётное покрытие. Укажите какое-нибудь конкретное.

Возрастающая последовательность альф начинающаяся с $\{0\}$ подойдет?

[Someone]

$\{0\}$ — это множество вида $\{x\in X:x<a\}$, где $X$ — это множество ординалов, меньших $\omega_1$, а $a=1$.

Rich в сообщении #1068204 писал(а):

Явно $ \omega_1$ предельная точка.

Ничего подобного.
Если имеется не более чем счётное множество конечных и счётных ординалов, то существует счётный ординал, который больше их всех.

Rich в сообщении #1068204 писал(а):

Возрастающая последовательность альф начинающаяся с $\{0\}$ подойдет?

Не понял. Какие множества составляют покрытие?

[Rich]

Someone в сообщении #1068210 писал(а):

Ничего подобного.
Если имеется не более чем счётное множество конечных и счётных ординалов, то существует счётный ординал, который больше их всех.

Ординал счётной мощности тогда?

Someone в сообщении #1068210 писал(а):

Не понял. Какие множества составляют покрытие?

$(0,\alpha_1), (\alpha_1,\alpha_2),(\alpha_2,\alpha_3)... $

где $\alpha_1<\alpha_2<\ldots<\alpha_n<\ldots$

[Someone]

Rich в сообщении #1068211 писал(а):

Someone в сообщении #1068210 писал(а):

Ничего подобного.
Если имеется не более чем счётное множество конечных и счётных ординалов, то существует счётный ординал, который больше их всех.

Ординал счётной мощности тогда?

Не понял вопроса. "Счётный ординал" и есть "ординал счётной мощности".

Rich в сообщении #1068211 писал(а):

Someone в сообщении #1068210 писал(а):

Не понял. Какие множества составляют покрытие?

$(0,\alpha_1), (\alpha_1,\alpha_2),(\alpha_2,\alpha_3)... $

где $\alpha_1<\alpha_2<\ldots<\alpha_n<\ldots$

Это не есть покрытие. Например, не покрыты ординалы $0,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\ldots$ (если Вы используете круглые скобки в стандартном смысле для обозначения интервала без конечных элементов). Более того, существует счётный ординал $\beta$, который больше всех ваших $\alpha_n$, $n\in\mathbb N$. И все счётные ординалы, которые $\geqslant\beta$, тоже не покрыты.

[Rich]

То что концы интервалов не покрыты можно легко исправить "сдвинув" немного интервалы, чтобы они пересекались.Про нуль Вы уже писали, что его можно считать интервалом. Остались $\beta$.

Тогда возникает такая идея взять ноль и все ординалы больше некоторого $\alpha$, как открытые множества, а все остальное покрыть нашими интервалами как в доказательстве некомпакности интервала $(0,1)$ для действительних чисел.

[Someone]

Rich в сообщении #1068804 писал(а):

Тогда возникает такая идея взять ноль и все ординалы больше некоторого $\alpha$, как открытые множества, а все остальное покрыть нашими интервалами как в доказательстве некомпакности интервала $(0,1)$ для действительних чисел.

Непонятно. Точно определите покрытие, которое Вы имеете в виду. Топология в этом пространстве вовсе не дискретная, и не все одноточечные множества являются открытыми.

И не забывайте, что это пространство счётнокомпактное, то есть, из каждого счётного покрытия открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.

[Rich]

Если поступить следующим образом : Возьмем множество всех порядковых чисел меньше первого несчетного, мощность это множества будет счетным. Дальше будем брать всевозможные подмножества этого множества и составять вышеуказанные интервалы от наименьшего элемента подмножества до наибольшего. Тогда помоему все должно получиться. Только не нужно рассматривать само множество как подмножество, чтобы избежать всяких проблем.

[Someone]

Rich в сообщении #1069146 писал(а):

Возьмем множество всех порядковых чисел меньше первого несчетного, мощность это множества будет счетным.

???
Страх и ужас.

А что такое $\omega_1$? Какую мощность имеет множество ординалов, меньших $\omega_1$?

Конечно, в учебнике Колмогорова — Фомина об ординалах (трансфинитах) рассказано не очень много, но вполне достаточно, чтобы не путаться так, как путаетесь Вы.

[Rich]

$\omega_1 $- как я понял, есть порядковое число соответствующие вполне упорядоченному множеству мощности континуума. Все порядковые числа меньше этого, как я понял, получаются например суммой порядковых чисел меньшей "счетной" мощности. А таких сумм должно быть не более чем счетно.

Хотя если допустить что всех порядковых чисел меньше первого нечсчетного , счетное число, то как Вы выше указали, можно всегда найти новое, которое не будет лежать в нашем списке. То есть их как минимум, не счетное число.

Где ошибка в первом рассуждении?

[Someone]

Rich в сообщении #1069246 писал(а):

$\omega_1 $- как я понял, есть порядковое число соответствующие вполне упорядоченному множеству мощности континуума.

Нет. Определение $\omega_1$ совершенно другое.

Rich в сообщении #1069246 писал(а):

Все порядковые числа меньше этого, как я понял, получаются например суммой порядковых чисел меньшей "счетной" мощности.

Ординалы $\alpha$, удовлетворяющие неравенству $\omega_0\leqslant\alpha<\omega_1$, являются порядковыми типами вполне упорядоченных счётных множеств. Ординалы, удовлетворяющие условию $0\leqslant\alpha<\omega_0$, соответствуют натуральным числам. (Вместо $\omega_0$ обычно пишут просто $\omega$. Вместо обозначения $\omega_1$ мне где-то попадалось обозначение $\Omega$.)

Rich в сообщении #1069246 писал(а):

А таких сумм должно быть не более чем счетно.

Кому оно "должно"?

Rich в сообщении #1069246 писал(а):

Хотя если допустить что всех порядковых чисел меньше первого нечсчетного , счетное число, то как Вы выше указали, можно всегда найти новое, которое не будет лежать в нашем списке. То есть их как минимум, не счетное число.

Так "их" счётное множество или несчётное? Вы так исказили правильное утверждение, что оно стало глупостью.

Вы по какой книге изучаете этот вопрос? По Колмогорову — Фомину?
Так прочтите текст внимательно.

[Rich]

Спасибо, пересмотрел определение. $\omega_1$- это порядковый тип множества всех счетных трансфинитов. Это несчетное множество.

Вернемся к вопросу о покрытии, $0$ мы покрыли, все счетные ординалы больше некоторого $\alpha$ тоже можно покрыть одним открытым множеством, как несчетно покрыть $(0,\alpha)$, который остался?

[Someone]

Rich в сообщении #1069340 писал(а):

как несчетно покрыть $(0,\alpha)$, который остался?

Поскольку интервал $(0,\alpha)$ счётный, из любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать не более чем счётное подпокрытие. Вместе с двумя интервалами, покрывающими $0$ и $[\alpha,\omega_1)$, получается не более чем счётное покрытие всего пространства. Если оно конечное, то говорить не о чем. Если же оно бесконечное, то из него опять же можно выбрать конечное подпокрытие, так как рассматриваемое пространство счётнокомпактно.

Поэтому некомпактность Вы не доказали.

[Rich]

Тогда надо открытыми множествами приближаться к $\omega_1$ справа, т.е. множествами типа $(0,\omega_1-\alpha_i)$, где $\alpha_i$ возрастающая последовательность ординалов, до этого покрыв 0.