Интеграл с ArcTanh

[fsh2013]

Здравствуйте.
Подскажите пожалуйста какой подстановкой можно решить неопр. интеграл вида

$$\int\limits_{}^{}\frac{dy}{\sqrt{\frac{1 - y^2}{y}[2y^3 + 24\sqrt{1 - y^2} \cdot ArcTanh(y)]}}$$

В справочнике Градштейна не нашел подсказку.

Спасибо.

[whitefox]

(брюзжание)

Вместо $ArcTanh(y)$ нужно писать $\operatorname{ArcTanh}y,$ а ещё лучше $\tanh^{-1}y$ или $\operatorname{artanh}y,$ и уж совсем хорошо если написать $\operatorname{arth}y.$

[Brukvalub]

Попробуйте скормить этот интеграл какой-нибудь системе символьных вычислений, станет понятно, нужно ли вообще искать подстановку.

[Munin]

fsh2013 в сообщении #1070105 писал(а):

В справочнике Градштейна не нашел подсказку.

С учётом того, что там пишется $\mathrm{Arth},$ или нет?

[fsh2013]

Munin
В интеграле ареатангенс, набрал к сожалению, в неудобном виде: $ArcTanh$.

Munin в сообщении #1070188 писал(а):

С учётом того, что там пишется $\mathrm{Arth},$ или нет?

Да, пересмотрел интегралы и формулы с $Arth$, но не нашел нужного выражения или подсказки.
"Mathematica v9" также не помогает.

[Brukvalub]

Тогда откуда уверенность, что есть такая подстановка, которая поможет взять интеграл?

[fsh2013]

Нет, уверенности не было. Просто привык решать сложные (для меня) интегралы подстановками.

[Ms-dos4]

fsh2013
На самом деле, эти ваши "сложные интегралы", решаемые подстановками - исключительные случаи. В подавляющем большинстве случаев, первообразной в элементарной функции и не будет (и более того, не будет и в виде широко употребляемых спецфункций).

[whitefox]

(ещё немного побрюзжу)

fsh2013 в сообщении #1070198 писал(а):

гиперб. арктангенс

Правильно будет говорить ареатангенс.

[Munin]

В общем, уже само выражение $\sqrt{1-y^2}\cdot\operatorname{Arth}y$ выглядит достаточно гибло. Всякие корни характерны для выражений типа $\operatorname{ch}\operatorname{Arsh}y,$ а здесь функция "угла" умножается на сам "угол". Нету "однородности".

[fsh2013]

Подынтегральное выражение разложил в ряд Маклорена, до 4-ой степени. По условию задачи $y\in(0,1)$. Привык точность наблюдать через графики. До $y\in(0,0.7)$ графики совпадают полностью, дальше начинают отличатся. Точность ряда увеличил до 12-ой, но должного эффекта не дало, графики в части $y\in(0.7,1)$ "медленно объединяются".
Конечно, нужно было точное решение. Но в данном случае, лучше придумать не смог.

[Ms-dos4]

fsh2013
Что значит "точное решение"? Вы задачу то полностью сформулируйте. Может вам численно интеграл взять да и всё (можно даже схитрить - рассчитать значения интеграла для разных интервалов и отинтерполировать).

[fsh2013]

Ms-dos4
Нет, к сожалению численное значение не поможет. Нужно выражение для $y$. Так как в данном случае $y=y(t)\in(0,1)$, который соответствует одному из параметров периодически изменяющегося физического явления.

[Ms-dos4]

fsh2013
1)Я вас спрашиваю, что за задача. С самого начала (это делается не потому, что интересно, а потому, что было много случаев, когда люди задавали похожие вопросы, а потом оказывалось, что задача решается совершенно по другому и никаких "дебрей" нет).
2)Ну так а если интерполировать? Ну и получите некую функцию $\[I(y)\]$, равную значению определённого интеграла в интервале $\[(0,y)\]$.

[fsh2013]

Ms-dos4
Общая задача - найти выражение для двумерного осциллирующего солитона уравнения sin-Гордон. Пробная функция дана:
$u(x,y,t)=-4\arctg[a(y(t))\sin(\varphi(t))sech(x_1y(t))sech(x_2y(t))]$
Получен лагранжиан зависящий от $\varphi(t)_t^2 $ и $y(t)_t^2$. Уравнения Лагранжа-Эйлера дали уравнения для $\varphi(t)_t^2 $ и $y(t)_t^2$. Мне задали найти последнее. Поиски привели к тому интегралу.