Устойчивое равновесие кубика в воде.

[AnatolyBa]

Sender в сообщении #1069476 писал(а):

центр плавучести единичного кубика с вертикальной главной диагональю находится, если не ошибаюсь, на глубине $\frac{13\sqrt{3}}{96}$

У меня такой же результат. Что меньше $\frac{1}{4}$ и меньше $\frac{1}{3\sqrt{2}}$

[Sender]

Munin в сообщении #1069592 писал(а):

Спасибо за пояснение, но всё-таки в нём ни слова не произвучало про энергию.

Пусть для простоты палка имеет вид прямоугольного параллелепипеда (бруска)$a\times a \times b$, $a<b$, и имеет плотность $\rho$. Тогда работа, необходимая для вытеснения жидкости плотности $\rho_\text{ж}$, будет равна $\int \limits_0^h \rho_\text{ж}gx Sdx=\frac{1}{2}\rho_\text{ж}gSh^2$, где $h$ - глубина погружения, $S$ - площадь сечения, параллельного поверхности жидкости.
Это и будет потенциальная энергия вытесненной жидкости.
В случае, когда брусок плавает плашмя боковой стороной, она равна $U_1=\frac{1}{2}\rho_\text{ж}gab(\frac{\rho}{\rho_\text{ж}}a)^2=\frac{\rho^2g}{2\rho_\text{ж}}a^3b$
В случае, когда брусок плавает вертикально, она равна $U_2=\frac{1}{2}\rho_\text{ж}ga^2(\frac{\rho}{\rho_\text{ж}}b)^2=\frac{\rho^2g}{2\rho_\text{ж}}a^2b^2$

[Skeptic]

Опыт показал, что прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием плавает ребром вверх.

[Sender]

Стало быть, в этом случае потенциальная энергия вытесненной жидкости ещё меньше. Полагаю, с учётом всего написанного в теме вам будет не так трудно выписать выражение для неё в явном виде.

[Sender]

Вообще, потенциальная энергия тела, свободно плавающего в жидкости, с учётом потенциальной энергии вытесненной жидкости составит

$$U=\rho g\int\limits_{V_0}z\mathrm{dV}-\rho_\text{ж} g\int\limits_{V_\text{погр}}z\mathrm{dV},$$

где $\rho$ - средняя плотность тела,
$\rho_\text{ж}$ - плотность жидкости (предполагается постоянной),
$V_0$ - весь объём тела,
$V_\text{погр}$ - погруженная часть тела, определямая из условия $\rho_\text{ж} \int\limits_{V_\text{погр}}\mathrm{dV}=\rho \int\limits_{V_0}\mathrm{dV},$
$z$ - вертикальная координата элемента объёма $\mathrm{dV}$.
Устойчивое положение определяется из условия минимальности $U$.

[Skeptic]

Как объяснить с помощью потенциальной энергии, что прямоугольный параллелепипед из пенопласта может устойчиво плавать на любой грани?

[Sender]

Локальные минимумы.

[Munin]

Skeptic в сообщении #1069752 писал(а):

Опыт показал, что прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием плавает ребром вверх.

А вот интересно, от плотности параллелепипеда это зависит?

То есть, при затоплении параллелепипеда, наступит ли момент, когда он повернётся параксиально? И при всплытии (воздушный шарик на воде)? Интуитивно кажется, что да: должен лечь на воду.

Так что, господа, приводящие результаты опытов, вы должны ещё и плотность указывать.

[Pphantom]

Skeptic в сообщении #1069859 писал(а):

Как объяснить с помощью потенциальной энергии, что прямоугольный параллелепипед из пенопласта может устойчиво плавать на любой грани?

Боюсь, что для плавания чего-либо пенопластового придется учитывать еще и поверхностное натяжение. Это, конечно, можно сделать, но это уже другая задача, более сложная.

[amon]

Sender в сообщении #1069660 писал(а):

$$U_1=\frac{1}{2}\rho_\text{ж}ab(\frac{\rho}{\rho_\text{ж}}a)^2=\frac{\rho^2}{2\rho_\text{ж}}a^3b$$

$$U_2=\frac{1}{2}\rho_\text{ж}a^2(\frac{\rho}{\rho_\text{ж}}b)^2=\frac{\rho^2}{2\rho_\text{ж}}a^2b^2$$

IMHO, какая-то тут лажа. Если плотность тела равна плотности жидкости, то равновесие безразличное, что из этих формул не получается. Также ни как не входит в ответ распределение плотности плавающего тела, от чего положение равновесия наверняка зависит. Сейчас некогда, попробую потом разобраться.

[Munin]

Pphantom в сообщении #1069901 писал(а):

Боюсь, что для плавания чего-либо пенопластового придется учитывать еще и поверхностное натяжение.

Достаточно взять большую модель.

[Sender]

amon в сообщении #1069902 писал(а):

IMHO, какая-то тут лажа.

В том сообщении только потенциальная энергия вытесненной жидкости. Потенциальную энергию самого тела я не выписывал, т.к. она вроде никаких вопросов не вызывает.
Если угодно, полная потенциальная энергия системы в первом случае
$U_1'=U_1+\rho g a^2b(\frac{a}{2}-a\frac{\rho}{\rho_\text{ж}})=\frac{\rho g}{2}a^3b(1-\frac{\rho}{\rho_\text{ж}}),$
во втором -
$U_2'=U_2+\rho g a^2b(\frac{b}{2}-b\frac{\rho}{\rho_\text{ж}})=\frac{\rho g}{2}a^2b^2(1-\frac{\rho}{\rho_\text{ж}}).$

[Pphantom]

Munin в сообщении #1069913 писал(а):

Достаточно взять большую модель.

Угу, только не факт, что задающий вопрос ее взял.

[Munin]

Опытами тут занимались пока только мат-ламер и Skeptic.

-- 03.11.2015 18:09:41 --

А, этот вопрос как раз Skeptic и задал. Точно!

[Sender]

amon в сообщении #1069902 писал(а):

Также ни как не входит в ответ распределение плотности плавающего тела, от чего положение равновесия наверняка зависит.

Хм, вот это справедливо. Плотность надо брать не среднюю, а локальную и вносить под интеграл (в случае с бруском она неявно предполагалась постоянной).
Тот же фокус можно проделать и со вторым слагаемым, если считать плотность жидкости зависящей от глубины. Окончательно,

$$U= g\int\limits_{V_0}\rho z\mathrm{dV}- g\int\limits_{V_\text{погр}}\rho_\text{ж} z\mathrm{dV},$$