максимум и матожидание распределения максимума

[FeelUs]

Помогите найти наиболее вероятное или среднее значение распределения, заданного следующей плотностью вероятности
$P_{\max<n>}(x) = n N(x) I(x)^{n-1}$
где $N(x)$ - плотность вероятности нормального распределения,
а $I(x)$ - функция распределения нормального распределения

(Оффтоп)

просто интересно, как мужик в этом видео на 30й минуте оценил вес самой большой пойманной рыбы

[Otta]

Так Вам про плотность или про камбалу? Про рыбу - здесь. Про плотность - много где, там тоже. Или все-таки

FeelUs в сообщении #1069823 писал(а):

наиболее вероятное или среднее значение распределения

?

(Оффтоп)

А еще, говорят, бывает зачем-то нужно свои попытки решения приводить. :(

[FeelUs]

(Оффтоп)

Просто я распределение максимума вывел сам, потом загуглил, и оно совпало, по этому его вывод (он на 2 страницы с картинками у меня получился) я не привел, посчитав его общеизвестным.
После чего поставил себе задачу, поставленную в топике, и не смог придумать вообще ни одной идеи,
как решать уравнение после приравнивания производной полученной плотности вероятности нулю,
или как проинтегрировать эту плотность вероятности, умноженную на $x$
аналитически.

А у Александровича оригинальное решение, спасибо.

А $F(x)^n$ - случайно не окажется снова нормальным?

[Евгений Машеров]

Гумбель. Статистика экстремальных значений. М.: Мир, 1965. — 451 с.
(Это довольно старый материал, исходный текст 1958 года, но поскольку её, английский оригинал, переиздали в 2004, можно полагать, что классика).
После этого много нового появилось, искать либо по Extreme Value, либо по Order Statistics
Нормальным оно не окажется, но будет сходиться к некоторому распределению
Немного есть тут:
http://files.lbz.ru/pdf/cB470-5-ch.pdf

[Александрович]

FeelUs в сообщении #1069858 писал(а):

А $F(x)^n$ - случайно не окажется снова нормальным?

Нет, конечно.