Нормальное распределение

[--mS--]

Спасибо, кэп. Мне можно было не отвечать, достаточно было ответить себе на свой же вопрос:

Александрович в сообщении #942281 писал(а):

--mS-- в сообщении #941938 писал(а):

И решение Вы показали не этой задачи, которую и поставить-то толком не можете, а задачи отыскания границ для максимума нескольких нормальных величин с известными математическим ожиданием и дисперсией: post940332.html#p940332.

А в фильме ставилась и решалась не эта задача?

[Александрович]

Александрович в сообщении #940332 писал(а):

Пусть $\mu=1$ кг, $\sigma=0.1$ кг, $N=384 000$, $p_2=0.975, p_1=0.025$.

Тогда $F^{-1}(p_2^{1/N})\approx 5.28$, а $F^{-1}(p_1^{1/N})\approx 4.27$.

$m_1=\mu+4.27\sigma \approx 1.43$ кг, а $m_2=\mu+4.27\sigma \approx 1.53$ кг.

Таким образом максимальный вес пойманной за 40 лет рыбы с 95%-ной вероятностью лежит в интервале от 1.43 кг до 1.53 кг.

Если считать $\mu$ и $\sigma$ по выборке дневного улова (объём 200), то границы несколько расширятся и составят от 1.40 кг до 1.59 кг.
Можно также посчитать что за 40 лет ловли рыб с таким весом было поймано в среднем 4 шт.

[Vox dej]

Товарищи!

Как человек слабо помнящий даже школьный курс математики, я не понял практически ничего из упоминавшегося в этой теме. Поэтому у меня большая просьба ко всем, кто разбирается - объясните на пальцах, подробно и полно, каким способом ведущий провёл расчёт, и если его способ был неверен, то почему, и как должно быть иначе?

Если подробно отвечать лень, то просьба сообщить авторов книг, что пишут в популярной форме о теории вероятностей и матстатистике.

[provincialka]

За ведущего в фильме может отвечать только ведущий в фильме. Может, вообще "от балды" взял. Объяснений-то не было!

[Александрович]

Vox dej в сообщении #949959 писал(а):

...объясните на пальцах, подробно и полно, каким способом ведущий провёл расчёт, и если его способ был неверен, то почему, и как должно быть иначе?

Из фильма это непонятно, поэтому остаётся только догадываться.
Следуем из данных, которые использовал ведущий.
Число пойманных рыб за 40 лет - N=384 000 это объём конечной генеральной совокупности. Примем за 95% что ни одна из пойманных рыб весом не больше $m_{\max}$.
Тогда по правилу умножения вероятностей $ p^N (m_{\max})=0.95$, а $p(m_{\max})=\sqrt[N]{0.95}\approx 0,9999998664237210$.
До сюдова понятно?

provincialka в сообщении #949966 писал(а):

Может, вообще "от балды" взял. Объяснений-то не было!

Было. Специалист поймёт. Почему-то профессионалы по матстатистике на этой задаче попросту теряются, поэтому решения от них не ждите. А что касается моего решения (единственно верного на сегодняшний день), то в лучшем случае они обзовут меня невеждой.

[provincialka]

Александрович, ваше решение хорошее. Но ведь ответы не сошлись? Значит, не факт, что ведущий использовал такое же. Или он брал не за 40 лет. Потому что рыбак сказал, что рыбы по 3-3.5 фунта попадаются раз месяц (не помню точно), а отнюдь не раз в 40 лет. А ведь ведущий про этот период ничего не говорил!
Боюсь, что авторы фильма не особо заморачивались строгостью. Давили больше не эффект. Да и про 95%, кажется, не говорили.

[Александрович]

Ответы не сошлись потому что среднее и ско я взял от фонаря, а в фильме об этом умолчалось.

[Magazanik]

Э-э-э.. Мои познания в математике точно такие же, как у топикстартера, то есть на уровне лабрадора.
Но на практике мне попадалась задача, дающая нормальное распределение, и я ее решал без всяких знаний, чисто эмпирически.

Задача такая. Генератор случайных чисел выдает поток с равномерным распределением, для каждого бита вероятность быть единицей или нулем ровно $1/2$, значит, каждый байт с вероятностью $1/256$ может быть любым из $256 $ возможных. Каждый байт из потока помещается в строку по такому правилу: если этого байта в строке еще нет, помещаем, если такой уже есть, отбрасываем. Сколько байт надо перебрать, чтобы строка заполнилась до конца, получилась перестановка, где каждый байт встречается ровно один раз?

Это я сумел вычислить без множества испытаний, чем очень гордился. Должно получиться число $1567 $ -- это число $256 $ умноженное на $256$-ое гармоническое число:

$1567 = 256(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/256)$

Проверил на множестве испытаний, действительно, в среднем получается $1567$. Но это только среднее, а вообще значения распределены нормально. То есть распределение должно быть биномиальным, но здесь хорошо совпадает с нормальным. Минимум есть -- очевидно, что для заполнения $256 $ вакансий в строке нужно сгенерировать не меньше $256 $ байт, но на практике этот минимум недостижим, на практике минимум где-то около $700$. Максимум на практике около $6000$, редко больше, $8000 $ видел только один раз, для меня этого результата достаточно, но в теории, сколько я понимаю, максимума нет -- случайность есть случайность, можно вообразить себе случай, когда генератор выдал миллион байт, и среди них нет ни одного с десятичным кодом $27$. Нету, долго не попадается, не везет... Почему бы и нет, монетка может лечь орлом двадцать пять раз подряд, а решки все нету и нету. Уже игрока зарезали за фармазонство, а решки все равно нету...

Я удовлетворился эмпирическими результатами испытаний, но хороший математик, думаю, может с точностью оценить вероятности -- как часто наступает случай, когда нужна серия в $10000 $ байт, в $20000 $ байт, и так далее. Наверное, можно, потому что параметры распределения из задачи как-то вычисляются. Это для меня слова среднеквадратичное отклонение пустой звук, а есть такие люди, которые эти слова понимают, даже пользоваться ими умеют.

Но вот задача с рыбами по моему дилетантскому ощущению хороших решений не имеет. Сделал ведущий передачи какую-то выборку, причем небольшую, у него все на бумажке уместилось, после чего прикинул, сколько рыб поймано за три года, и заявил, что среди 384 тыщ не было ни одной тяжелее трех с половиной фунтов. Это с чего он взял? Откуда здесь максимум? Отметил на графике два десятка точек, провел по ним кривую, убедился, что она имеет форму колокола, нормальное распределение, это все мило, но откуда максимум? Правый хвост этой кривой где-то спускается до нуля? Ой, не математик я, но что-то сомневаюсь...

[levtsn]

Magazanik в сообщении #950258 писал(а):

Э-э-э.. Мои познания в математике точно такие же, как у топикстартера, то есть на уровне лабрадора.
Но на практике мне попадалась задача, дающая нормальное распределение, и я ее решал без всяких знаний, чисто эмпирически.

Задача такая. Генератор случайных чисел выдает поток с равномерным распределением, для каждого бита вероятность быть единицей или нулем ровно $1/2$, значит, каждый байт с вероятностью $1/256$ может быть любым из $256 $ возможных. Каждый байт из потока помещается в строку по такому правилу: если этого байта в строке еще нет, помещаем, если такой уже есть, отбрасываем. Сколько байт надо перебрать, чтобы строка заполнилась до конца, получилась перестановка, где каждый байт встречается ровно один раз?

Это я сумел вычислить без множества испытаний, чем очень гордился. Должно получиться число $1567 $ -- это число $256 $ умноженное на $256$-ое гармоническое число:

$1567 = 256(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/256)$

Проверил на множестве испытаний, действительно, в среднем получается $1567$. Но это только среднее, а вообще значения распределены нормально. То есть распределение должно быть биномиальным, но здесь хорошо совпадает с нормальным. Минимум есть -- очевидно, что для заполнения $256 $ вакансий в строке нужно сгенерировать не меньше $256 $ байт, но на практике этот минимум недостижим, на практике минимум где-то около $700$. Максимум на практике около $6000$, редко больше, $8000 $ видел только один раз, для меня этого результата достаточно, но в теории, сколько я понимаю, максимума нет -- случайность есть случайность, можно вообразить себе случай, когда генератор выдал миллион байт, и среди них нет ни одного с десятичным кодом $27$. Нету, долго не попадается, не везет... Почему бы и нет, монетка может лечь орлом двадцать пять раз подряд, а решки все нету и нету. Уже игрока зарезали за фармазонство, а решки все равно нету...

Я удовлетворился эмпирическими результатами испытаний, но хороший математик, думаю, может с точностью оценить вероятности -- как часто наступает случай, когда нужна серия в $10000 $ байт, в $20000 $ байт, и так далее. Наверное, можно, потому что параметры распределения из задачи как-то вычисляются. Это для меня слова среднеквадратичное отклонение пустой звук, а есть такие люди, которые эти слова понимают, даже пользоваться ими умеют.

Но вот задача с рыбами по моему дилетантскому ощущению хороших решений не имеет. Сделал ведущий передачи какую-то выборку, причем небольшую, у него все на бумажке уместилось, после чего прикинул, сколько рыб поймано за три года, и заявил, что среди 384 тыщ не было ни одной тяжелее трех с половиной фунтов. Это с чего он взял? Откуда здесь максимум? Отметил на графике два десятка точек, провел по ним кривую, убедился, что она имеет форму колокола, нормальное распределение, это все мило, но откуда максимум? Правый хвост этой кривой где-то спускается до нуля? Ой, не математик я, но что-то сомневаюсь...

вероятность

[Magazanik]

levtsn в сообщении #950264 писал(а):

вероятность

Что -- вероятность?
Как она оценивается, из чего?

У нас двадцать рыб, ни одна не весит, предположим, больше двух с половиной фунтов, из этого делаем вывод, что на 400 тысяч рыб нет ни одной тяжелее трех с половиной фунтов?
Ой ли?

Даже чтобы самым кустарным способом продолжить кривую на обыкновенной миллиметровой бумаге, нужна выборка побольше. Хотя бы тысяча рыб из четырехсот тысяч.
Но даже в этом случае максимума нет. Среднее есть, а максимума нет. В выборке не было ни одной камбалы тяжелее четырех фунтов, из этого не следует, что на дне не лежит большая старая камбала весом десять фунтов и что она не поймается прямо сегодня.

[Vox dej]

Александрович в сообщении #950203 писал(а):

Примем за 95%...

95% это два сигма? А если взять три? И сколько вообще имеет смысл брать, в данном случае с рыбой?

Александрович в сообщении #950203 писал(а):

Тогда по правилу умножения вероятностей...

Хм, а зачем здесь применять правило умножения вероятностей? У нас разве несколько вероятностей?

Александрович в сообщении #950203 писал(а):

До сюдова понятно?

В принципе да, получается же нечто вроде a^N=b; a=\sqrt[N]{b}

P. S. Записал все значение веса рыб какие были в кадре, получилась такая табличка:
180 520 170 220 130
170 250 160 350 130
210 160 350 220
180 250 160 130
340 150 210 210

[Александрович]

Vox dej в сообщении #950279 писал(а):

Александрович в сообщении #950203 писал(а):

Примем за 95%...

95% это два сигма? А если взять три? И сколько вообще имеет смысл брать, в данном случае с рыбой?

Это в среднем верный прогноз для 19-ти рыбаков из 20-ти.

Vox dej в сообщении #950279 писал(а):

P. S. Записал все значение веса рыб какие были в кадре, получилась такая табличка:
180 520 170 220 130
170 250 160 350 130
210 160 350 220
180 250 160 130
340 150 210 210

Это уже что-то. Предлагаю господам, посетившим сию тему не заниматься словоблудием, а решить конкретно поставленную задачу.

[Vox dej]

Александрович в сообщении #950322 писал(а):

Это в среднем верный прогноз для 19-ти рыбаков из 20-ти.

Понятно, а дальнейший ход вашего решения, в пальцевой интерпретации?

[provincialka]

Vox dej, это в каких единицах? Явно не в фунтах.

Александрович в сообщении #950322 писал(а):

Предлагаю господам, посетившим сию тему не заниматься словоблудием, а решить конкретно поставленную задачу.

Что считать под "конкретно поставленной задачей"? Я вижу только один вариант расшифровки:
"Попытаться догадаться, что имели в виду авторы и подобрать параметры так, чтобы получился их ответ"

Что-то не эта задача не привлекает...

[Vox dej]

Вес в граммах.