условие применимости классического волнового уравнения

[Forthegreatprogress]

Здравствуйте.
Не могли бы Вы пожалуйста помочь со следующим вопросом.
Почему для применения классического волнового уравнения наша среда должна быть недиспергирующей ?
Спасибо


Мой ход мыслей.
Чтобы получить формулу мы используем разложение в ряд Тейлора . Далее подставляем решение в закон Ньютона. Получаем дифф. уравнение. Этому уравнению должны ставить конкретные требования , одно из них - недиспергирующая среда. То есть причина в математике.
$E(x,t)$$=$$Acos(wt-kx)$
Допустим, мы изменим частоту , и для этой частоты у нас изменится скорость. Волновое число останется прежним . И что плохого в этом действии ? Почему обязательно среда должна быть недиспергирующей ?
Ну, как-то так )

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Ms-dos4]

Forthegreatprogress
Да хотя бы потому, что в классическом волновом уравнении у вас $\[\omega = k{v_f}\]$ с постоянной фазовой скоростью, а значит у вас волны любых частот распространяются с одинаковой скоростью - т.е. дисперсии нет.

[Forthegreatprogress]

Ms-dos4 в сообщении #1068940 писал(а):

Forthegreatprogress
Да хотя бы потому, что в классическом волновом уравнении у вас $\[\omega = k{v_f}\]$ с постоянной фазовой скоростью, а значит у вас волны любых частот распространяются с одинаковой скоростью - т.е. дисперсии нет.

то есть будет меняться $k$. А почему бы ему не быть постоянным ? Почему бы не быть частоте постоянной , а скорости разной ?

[Ms-dos4]

Forthegreatprogress
Я ничего не понял. У вас $\[{v_F}\]$ непосредственно входит в уравнение $\[\partial _x^2u - \frac{1}{{v_F^2}}\partial _t^2u = 0\]$ (одном. случай), поэтому жёстко фиксирована.

[Forthegreatprogress]

Ms-dos4 в сообщении #1068947 писал(а):

Forthegreatprogress
Я ничего не понял. У вас $\[{v_F}\]$ непосредственно входит в уравнение $\[\partial _x^2u - \frac{1}{{v_F^2}}\partial _t^2u = 0\]$ (одном. случай), поэтому жёстко фиксирована.

Cпасибо , сглупил. Просто учебнике очень странно все это объясняется , и волосы дыбом встают , когда пытаешься понять. Спасибо )

[Munin]

Forthegreatprogress в сообщении #1068921 писал(а):

Почему для применения классического волнового уравнения наша среда должна быть недиспергирующей ?

Просто потому, что если она диспергирующая, то там будет другое волновое уравнение.

Forthegreatprogress в сообщении #1068921 писал(а):

Чтобы получить формулу мы используем разложение в ряд Тейлора . Далее подставляем решение в закон Ньютона. Получаем дифф. уравнение. Этому уравнению должны ставить конкретные требования , одно из них - недиспергирующая среда. То есть причина в математике.

Тут некоторая мешанина, но да, причина в математике. Само слово "дисперсия" - математическое.

Надо использовать не ряд Тейлора, а преобразование Фурье. Тогда волновое уравнение

$$u_{xx}-\dfrac{1}{c^2}u_{tt}=0$$

преобразуется в

$$(ik)^2\tilde{u}-\dfrac{1}{c^2}(i\omega)^2\tilde{u}=0.$$

Сокращая на $\tilde{u},$ получаем условие разрешимости этого уравнения:

$$\omega^2=c^2k^2,\quad\omega=\pm ck$$

- то есть, две бегущие волны, вправо и влево. Это уравнение называется дисперсионным уравнением или дисперсионной зависимостью, и изображается на плоскости $(k,\omega)$ прямой линией, проходящей через начало координат. Это - среда без дисперсии.

Среда с дисперсией - это когда линейная зависимость не выполняется. Причины могут быть разные, но в любом случае, будет что-то вроде

$$\omega=f(k).$$

И проходя весь путь обратно, мы получим совсем другое волновое уравнение - хорошо ещё, если дифференциальное, а может быть и интегро-дифференциальное.

[Forthegreatprogress]

Munin
очень благодарю )

[Munin]

Упражнение для самопроверки: какое волновое уравнение получится при дисперсионном уравнении

$$\omega=ak^2?$$

(Подсказка: оно очень хорошо известно в физике.)

[Sicker]

(Оффтоп)

Подсказка: диффузия

[amon]

Sicker в сообщении #1069287 писал(а):

Подсказка: диффузия

Ответ неверный.

[Sicker]

amon
Ну теплопроводности.

[amon]

Sicker в сообщении #1069307 писал(а):

Ну теплопроводности.

Вот сейчас как злые математики придут, как дадут а-та-та за то, что не знаете разницы между параболическими и гиперболическими уравнениями...

[Sicker]

amon
Шредингера:)