Почему для применения классического волнового уравнения наша среда должна быть недиспергирующей ?
Просто потому, что если она диспергирующая, то там будет другое волновое уравнение.
Чтобы получить формулу мы используем разложение в ряд Тейлора . Далее подставляем решение в закон Ньютона. Получаем дифф. уравнение. Этому уравнению должны ставить конкретные требования , одно из них - недиспергирующая среда. То есть причина в математике.
Тут некоторая мешанина, но да, причина в математике. Само слово "дисперсия" - математическое.
Надо использовать не ряд Тейлора, а преобразование Фурье. Тогда волновое уравнение
![$$u_{xx}-\dfrac{1}{c^2}u_{tt}=0$$ $$u_{xx}-\dfrac{1}{c^2}u_{tt}=0$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/b/14b71e0e2391167b15ac42acf8d2bdb282.png)
преобразуется в
![$$(ik)^2\tilde{u}-\dfrac{1}{c^2}(i\omega)^2\tilde{u}=0.$$ $$(ik)^2\tilde{u}-\dfrac{1}{c^2}(i\omega)^2\tilde{u}=0.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/f/c6f54bb2e46b6971eafa0c5f6bd21f6f82.png)
Сокращая на
![$\tilde{u},$ $\tilde{u},$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/c/52c5072bb67d96c66ca6e2b53a19396e82.png)
получаем условие разрешимости этого уравнения:
![$$\omega^2=c^2k^2,\quad\omega=\pm ck$$ $$\omega^2=c^2k^2,\quad\omega=\pm ck$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/1/e61351c7c8792875c619cb231ba4cd3982.png)
- то есть, две бегущие волны, вправо и влево. Это уравнение называется дисперсионным уравнением или дисперсионной зависимостью, и изображается на плоскости
![$(k,\omega)$ $(k,\omega)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/8/f580664f019fba5d4f1d40d90cd5779982.png)
прямой линией, проходящей через начало координат. Это - среда без дисперсии.
Среда с дисперсией - это когда линейная зависимость не выполняется. Причины могут быть разные, но в любом случае, будет что-то вроде
![$$\omega=f(k).$$ $$\omega=f(k).$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/0/aa0345f23aa0df032af2118e0c94c9da82.png)
И проходя весь путь обратно, мы получим совсем другое волновое уравнение - хорошо ещё, если дифференциальное, а может быть и интегро-дифференциальное.