2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 условие применимости классического волнового уравнения
Сообщение31.10.2015, 23:08 


31/10/15
121
Здравствуйте.
Не могли бы Вы пожалуйста помочь со следующим вопросом.
Почему для применения классического волнового уравнения наша среда должна быть недиспергирующей ?
Спасибо


Мой ход мыслей.
Чтобы получить формулу мы используем разложение в ряд Тейлора . Далее подставляем решение в закон Ньютона. Получаем дифф. уравнение. Этому уравнению должны ставить конкретные требования , одно из них - недиспергирующая среда. То есть причина в математике.
$E(x,t)$$=$$Acos(wt-kx)$
Допустим, мы изменим частоту , и для этой частоты у нас изменится скорость. Волновое число останется прежним . И что плохого в этом действии ? Почему обязательно среда должна быть недиспергирующей ?
Ну, как-то так )

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение31.10.2015, 23:27 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение31.10.2015, 23:46 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: условие применимости классического волнового уравнения
Сообщение01.11.2015, 00:07 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Forthegreatprogress
Да хотя бы потому, что в классическом волновом уравнении у вас $\[\omega  = k{v_f}\]$ с постоянной фазовой скоростью, а значит у вас волны любых частот распространяются с одинаковой скоростью - т.е. дисперсии нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: условие применимости классического волнового уравнения
Сообщение01.11.2015, 00:13 


31/10/15
121
Ms-dos4 в сообщении #1068940 писал(а):
Forthegreatprogress
Да хотя бы потому, что в классическом волновом уравнении у вас $\[\omega  = k{v_f}\]$ с постоянной фазовой скоростью, а значит у вас волны любых частот распространяются с одинаковой скоростью - т.е. дисперсии нет.

то есть будет меняться $k$. А почему бы ему не быть постоянным ? Почему бы не быть частоте постоянной , а скорости разной ?

 Профиль  
                  
 
 Re: условие применимости классического волнового уравнения
Сообщение01.11.2015, 00:21 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Forthegreatprogress
Я ничего не понял. У вас $\[{v_F}\]$ непосредственно входит в уравнение $\[\partial _x^2u - \frac{1}{{v_F^2}}\partial _t^2u = 0\]$ (одном. случай), поэтому жёстко фиксирована.

 Профиль  
                  
 
 Re: условие применимости классического волнового уравнения
Сообщение01.11.2015, 00:33 


31/10/15
121
Ms-dos4 в сообщении #1068947 писал(а):
Forthegreatprogress
Я ничего не понял. У вас $\[{v_F}\]$ непосредственно входит в уравнение $\[\partial _x^2u - \frac{1}{{v_F^2}}\partial _t^2u = 0\]$ (одном. случай), поэтому жёстко фиксирована.

Cпасибо , сглупил. Просто учебнике очень странно все это объясняется , и волосы дыбом встают , когда пытаешься понять. Спасибо )

 Профиль  
                  
 
 Re: условие применимости классического волнового уравнения
Сообщение01.11.2015, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Forthegreatprogress в сообщении #1068921 писал(а):
Почему для применения классического волнового уравнения наша среда должна быть недиспергирующей ?

Просто потому, что если она диспергирующая, то там будет другое волновое уравнение.

Forthegreatprogress в сообщении #1068921 писал(а):
Чтобы получить формулу мы используем разложение в ряд Тейлора . Далее подставляем решение в закон Ньютона. Получаем дифф. уравнение. Этому уравнению должны ставить конкретные требования , одно из них - недиспергирующая среда. То есть причина в математике.

Тут некоторая мешанина, но да, причина в математике. Само слово "дисперсия" - математическое.

Надо использовать не ряд Тейлора, а преобразование Фурье. Тогда волновое уравнение
$$u_{xx}-\dfrac{1}{c^2}u_{tt}=0$$ преобразуется в
$$(ik)^2\tilde{u}-\dfrac{1}{c^2}(i\omega)^2\tilde{u}=0.$$ Сокращая на $\tilde{u},$ получаем условие разрешимости этого уравнения:
$$\omega^2=c^2k^2,\quad\omega=\pm ck$$ - то есть, две бегущие волны, вправо и влево. Это уравнение называется дисперсионным уравнением или дисперсионной зависимостью, и изображается на плоскости $(k,\omega)$ прямой линией, проходящей через начало координат. Это - среда без дисперсии.

Среда с дисперсией - это когда линейная зависимость не выполняется. Причины могут быть разные, но в любом случае, будет что-то вроде
$$\omega=f(k).$$ И проходя весь путь обратно, мы получим совсем другое волновое уравнение - хорошо ещё, если дифференциальное, а может быть и интегро-дифференциальное.

 Профиль  
                  
 
 Re: условие применимости классического волнового уравнения
Сообщение01.11.2015, 12:02 


31/10/15
121
Munin
очень благодарю )

 Профиль  
                  
 
 Re: условие применимости классического волнового уравнения
Сообщение01.11.2015, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Упражнение для самопроверки: какое волновое уравнение получится при дисперсионном уравнении
$$\omega=ak^2?$$ (Подсказка: оно очень хорошо известно в физике.)

 Профиль  
                  
 
 Re: условие применимости классического волнового уравнения
Сообщение01.11.2015, 19:35 
Аватара пользователя


13/08/13

4323

(Оффтоп)

Подсказка: диффузия :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: условие применимости классического волнового уравнения
Сообщение01.11.2015, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5255
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #1069287 писал(а):
Подсказка: диффузия :-)
Ответ неверный.

 Профиль  
                  
 
 Re: условие применимости классического волнового уравнения
Сообщение01.11.2015, 20:15 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
amon
Ну теплопроводности.

 Профиль  
                  
 
 Re: условие применимости классического волнового уравнения
Сообщение01.11.2015, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5255
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #1069307 писал(а):
Ну теплопроводности.
Вот сейчас как злые математики придут, как дадут а-та-та за то, что не знаете разницы между параболическими и гиперболическими уравнениями...

 Профиль  
                  
 
 Re: условие применимости классического волнового уравнения
Сообщение01.11.2015, 21:57 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
amon
Шредингера:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group