Найти сумму, используя производящие функции.

[falazure123]

Доброго времени суток.
Задача такова: найти сумму $\sum^{\infty}_{n=0} {\frac{F_n}{10^n}}$

ответ будет $\frac{10}{89}$

У меня идея решения такая:
найти производящую функцию того, что под знаком суммы.
Затем домножить эту производящую функцию на $\frac{1}{1-t}$
таким образом получится выражение для частичных сумм. найти общий член этой последовательности. и взять предел на бесконечности. С помощью вольфрама так и удалось посчитать и ответ совпал.
Проблема вот в чём. Я не понимаю как посчитать производящую функцию для начального отношения. Я знаю производящую функцию чисел Фибоначчи, знаю производящую функцию знаменателя. Но как получить производящую функцию их произведения непонятно.
Кажется, нужно использовать свёртку, но я опять же не понимаю, как эту свертку записать .

Или всё таки это задание решается каким-то другим способом?

[Otta]

falazure123 в сообщении #1068257 писал(а):

Я знаю производящую функцию чисел Фибоначчи,

А чему она равна?

[falazure123]

Otta в сообщении #1068259 писал(а):

falazure123 в сообщении #1068257 писал(а):

Я знаю производящую функцию чисел Фибоначчи,

А чему она равна?

вот она :
$\frac{t}{1-t-t^2}$

[Otta]

А вообще производящая функция чему равна, по определению? Скажем, для той же последовательности Фибоначчи?

[falazure123]

Otta в сообщении #1068262 писал(а):

А вообще производящая функция чему равна, по определению? Скажем, для той же последовательности Фибоначчи?

ну определение производящей функции это
$F(t) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{F_n t^n}$

[Otta]

Осталось внимательно посмотреть на задание. На определение. Потом опять на задание. Потом опять на определение. И так до просветления. :)

[falazure123]

Otta в сообщении #1068267 писал(а):

Осталось внимательно посмотреть на задание. На определение. Потом опять на задание. Потом опять на определение. И так до просветления. :)

А вот и просветление пришло
вместо параметра в производящую функцию чисел фибоначчи подставил $0.1$ и вышло)
Забавно. А я хотел жизнь усложнить.

Можете ещё наводку дать, как найти такую сумму $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{n^2+n-1}{n!}}$ ? тут не совсем понимаю какую производящую функцию лучше расписать.. вроде знаю производящую для $\frac{1}{n!}$
А дальше пока не очень. Хотя тут прослеживается экспонента... а ответ как раз $2e$

[Otta]

А как бы сумму ряда искали $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}$? Вообще, необязательно помня о производящих функциях?

[falazure123]

Otta в сообщении #1068271 писал(а):

А как бы сумму ряда искали $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}$? Вообще, необязательно помня о производящих функциях?

хм.. обычно суммы рядов ищу через предел частичных сумм, но тут я что-то затрудняюсь ответить..

[Otta]

А слово "экспонента" Вам где и почему прослеживалось?

[falazure123]

Otta в сообщении #1068274 писал(а):

А слово "экспонента" Вам где и почему прослеживалось?

мне показалось, что если записать
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(n^2+n-1)t^n}{n!}}$
то множитель $\frac{t^n}{n!}$ как раз даст экспоненту. но я вроде не могу так в сумме делать.

как всё таки посчитать сумму ряда с факториалом ? с этим сначала может надо разобраться.
а . я бы вспомнил разложения для экспоненты в ряд тейлора. и взял бы $x=1$

-- 30.10.2015, 02:09 --

а. так тут в качестве $x$ можно взять числитель...

[provincialka]

falazure123
Именно. Надо. Вы про ряды Тейлора слышали? Про стандартные разложения? В принципе, это мало чем отличается от производящих функций, просто рассуждение идет "от функции", а не от последовательности.

[falazure123]

ну да. разложение в ряд тейлора использовать. но всё таки тут разложение экспоненты вроде не сильно помогает. в числителе должно же быть $t^k$ , а у меня $n^2+n-1$

[provincialka]

А вы в сумму трех рядов разложите, например... Или еще что надумайте...

-- 30.10.2015, 01:31 --

(Оффтоп)

Например, так: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n(n-1)+2n-1}{n!}$

[falazure123]

provincialka в сообщении #1068289 писал(а):

А вы в сумму трех рядов разложите, например... Или еще что надумайте...

-- 30.10.2015, 01:31 --

(Оффтоп)

Например, так: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n(n-1)+2n-1}{n!}$

не понял как мне это поможет. но я тут вроде надумал кое-что.
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{n^2+n-1}{n!}} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{n^2}{n!}} + \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{n}{n!}} - \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$
последняя сумма это $-e$
так же знаю, что $e^t = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{t^n}{n!}} $
я могу разложения тейлора продифференцировать один раз
$e^t = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{nt^{n-1}}{n!}}$
и ещё раз
$\sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{n^2 t^{n-2}}{n!}}$
правда тут где-то лажа вроде..

а насчет вашего предложения вот что вышло
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n(n-1)+2n-1}{n!}} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n(n-1)}{n!}} + 2\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{n!}} - \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$

последняя сумма как я понимаю это $e-1$
центральная видимо $2e$
а с первой запутался(