Найти сумму, используя производящие функции.

[Otta]

falazure123 в сообщении #1068303 писал(а):

и ещё раз
$\sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{n^2 t^{n-2}}{n!}}$

Неа.

[provincialka]

Можно и не дифференцировать. Вспомните, что такое факториал и сократите. (Может, вам удобнее выписывать суммы через "плюс", а не через знак суммы)

-- 30.10.2015, 02:58 --

А почему суммы стали от 1? Имеем $0! =1$

[falazure123]

Otta в сообщении #1068308 писал(а):

falazure123 в сообщении #1068303 писал(а):

и ещё раз
$\sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{n^2 t^{n-2}}{n!}}$

Неа.

ну да. поторопился. там $n(n-1)$

-- 30.10.2015, 04:03 --

provincialka в сообщении #1068315 писал(а):

Можно и не дифференцировать. Вспомните, что такое факториал и сократите. (Может, вам удобнее выписывать суммы через "плюс", а не через знак суммы)

-- 30.10.2015, 02:58 --

А почему суммы стали от 1? Имеем $0! =1$

сокращал. только с индексами суммирования путаюсь. ну вроде $2e$ выходит ответ...

[provincialka]

provincialka в сообщении #1068315 писал(а):

(Может, вам удобнее выписывать суммы через "плюс", а не через знак суммы)

[falazure123]

Вот теперь вроде бы все хорошо
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{n^2+n-1}{n!}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{n(n-1)+2n-1}{n!}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{n(n-1)}{n!}}+2\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{n}{n!}}-\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$
Распишу все суммы
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{n(n-1)}{n!}}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{(n-2)!}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}=e$
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{n}{n!}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(n-1)!}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}=e$
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}=e$
Итого вышло $e+2e-e=2e$