Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки

[Dmitry Tkachenko]

Someone в сообщении #1067408 писал(а):

Во-вторых, не следует загромождать доказательство ненужными условиями.

Не буду.

Someone в сообщении #1067408 писал(а):

Э-э-э… А в чём проблема? Если $(U,\varphi,E)$ — карта, $V\subset U$ — такое подмножество, что $\varphi U$ открыто в $E$, то $(V,\varphi|_V,E)$ — тоже карта, и присоединение её к атласу не меняет гладкости атласа.

В смысле $\varphi(V)$ открыто в $E.$ Но смысл в том, чтобы $(V,\varphi|_V,E)$ была согласована с любой другой картой из этого атласа. Тогда он останется атласом. У меня не получается это показать.

Someone в сообщении #1067408 писал(а):

P.S. Извините, у меня сейчас нет времени для дальнейшей писанины. Может быть, попозже ещё напишу, или кто-нибудь другой напишет.

Вряд ли кто-то захочет в этом разобраться до конца. У меня складывается ощущение, что эквивалентность атласов для произвольного множества $X$ просто не имеет места. А если имеет, то это точно не очевидный факт.

Brukvalub в сообщении #1065957 писал(а):

А что там доказывать?

Brukvalub, могли бы Вы посмотреть на мою попытку доказательства транзитивности для случая $\mathcal{C}^0$ и, если Вы согласитесь с этой попыткой, лишь наметить план доказательства того, что в пункте 3) после первого пополнения все карты в атласе $\mathscr{B}$ будут попарно $\mathcal{C}^0$-согласованы. Попытку доказательства свернул в оффтоп.

(Оффтоп)

1) Рассмотрим три атласа $\mathscr{A} =\{(\varphi_{\alpha}, U_{\alpha})\}, \mathscr{B}=\{(\psi_{\beta}, V_{\beta})\}, \mathscr{C}=\{(\theta_{\gamma}, W_{\gamma})\},$ где $\alpha, \beta, \gamma \in G,$ карты которых действуют в открытые подмножества банохова пространства $E, E'$ и $E''$ соответственно. Зафиксируем произвольные карты $(\varphi_{\alpha}, U_{\alpha})$ и $(\theta_{\gamma}, W_{\gamma}),$ такие, что $U_{\alpha} \cap W_{\gamma} \ne \varnothing.$ Обозначим $(\varphi, U):=(\varphi_{\alpha}, U_{\alpha}), (\theta, W):=(\theta_{\gamma}, W_{\gamma})$ и $O :=U_{\alpha} \cap W_{\gamma}.$

2) Рассмотрим покрытие множества $O$ носителями карт из $\mathscr{B},$ т.е. множество $\bigg\{V_{\beta} \colon \bigg( \bigcup\limits_{\beta \in T} V_{\beta} \bigg)\cap O=O \bigg\}.$

3) Далее, пополним атлас $\mathscr{B}$ такими картами: $(V_{\beta}\cap U, \psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap U})$ и $(V_{\beta}\cap W, \psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap W}), \beta \in T.$ Теперь мы можем пополнить атлас $\mathscr{B}$ следующими картами: $(V_{\beta}\cap U\cap W, \psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap U\cap W}), \beta \in T.$

4) $\forall \beta \in T$ имеем, что $\psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap U\cap W}(V_{\beta}\cap U\cap W)$ открыто в $E',$ значит, $\psi_{\beta}(V_{\beta}\cap U\cap W)$ открыто в $E'.$

5) Предположим, что $\varphi (U\cap W)$ не открыто в $E.$ Тогда $\exists \beta \in T \colon \varphi (U\cap W \cap V_{\beta})$ не открыто в $E.$ Но тогда гомеоморфизм $\varphi(\psi_{\beta}^{-1}) \colon \psi_{\beta}(V_{\beta}\cap U\cap W) \to \varphi (U\cap W \cap V_{\beta})$ отображает открытое подмножество $E'$ на не открытое подмножество $E.$ Противоречие.

[Someone]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1067444 писал(а):

Someone в сообщении #1067408 писал(а):

Э-э-э… А в чём проблема? Если $(U,\varphi,E)$ — карта, $V\subset U$ — такое подмножество, что $\varphi U$ открыто в $E$, то $(V,\varphi|_V,E)$ — тоже карта, и присоединение её к атласу не меняет гладкости атласа.

В смысле $\varphi(V)$ открыто в $E.$

Да, конечно, $\varphi V$ открыто в $E$.

Dmitry Tkachenko в сообщении #1067444 писал(а):

Но смысл в том, чтобы $(V,\varphi|_V,E)$ была согласована с любой другой картой из этого атласа. Тогда он останется атласом. У меня не получается это показать.

Ну так продемонстрируйте нам свою попытку доказательства. Вот есть карта $U',\varphi',E'$ (кстати, у меня нет этой книги; там точно $E'$, а не $E$?), что $V\cap U'\neq\varnothing$. Показывайте согласованность.

[Brukvalub]

Неохота мне в эту тягомотину влезать. Вам и так Someone хорошо помогает.

[Dmitry Tkachenko]

Someone в сообщении #1067484 писал(а):

Ну так продемонстрируйте нам свою попытку доказательства. Вот есть карта $U',\varphi',E'$ (кстати, у меня нет этой книги; там точно $E'$, а не $E$?), что $V\cap U'\neq\varnothing$. Показывайте согласованность.

В книге $E',$ но пусть сейчаc $E=E'=E''=\mathbb{R}^n.$ Для доказательства согласованности сначала покажем, что:

для любой карты $(U_2, \varphi_2), U_2\cap V\ne \varnothing,$ из первого атласа $\varphi (V\cap U_2)$ открыто в $\mathbb{R}^n.$

Пусть $\varphi (V\cap U_2)$ неоткрыто в $\mathbb{R}^n.$ Дальше я должен прийти к противоречию с чем либо, но не прихожу. В связи с этим нужно строить контр-пример. А как Вы приходите к противоречию?

-- 27.10.2015, 18:56 --

Brukvalub в сообщении #1067493 писал(а):

Неохота мне в эту тягомотину влезать. Вам и так Someone хорошо помогает.

Спасибо за ответ.

[Someone]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1067505 писал(а):

Пусть $\varphi (V\cap U_2)$ неоткрыто в $\mathbb{R}^n.$ Дальше я должен прийти к противоречию

Пошлите куда подальше противоречия. Достаточно свойств открытых множеств и гомеоморфизмов.

[Dmitry Tkachenko]

Someone в сообщении #1067589 писал(а):

Пошлите куда подальше противоречия. Достаточно свойств открытых множеств и гомеоморфизмов.

Честно не понимаю! В который раз рисую себе картинку (могу фотки переслать). $\varphi(U\cap U_2)$ открыто в $\mathbb{R}^n,$ еще понятно, что какая-то часть $\varphi(V)$ лежит в $\varphi(U\cap U_2).$ Эта часть открыта в $\mathbb{R}^n$ (почему? как пересечение открытых в $\mathbb{R}^n$ ?). Тогда $\varphi|_{V}(U_2\cap V)$ открыто в $\mathbb{R}^n.$

-- 27.10.2015, 22:50 --

Теперь посмотрим на $\varphi_2(U_2 \cap V).$

-- 27.10.2015, 23:02 --

Так как $\varphi|_V(U_2\cap V)$ открыто в $\mathbb{R}^n$ и является подмножеством $\varphi(U_2\cap U),$ то $\varphi(U_2\cap U\cap V)$ открыто в $\mathbb{R}^n$ и, значит, $\varphi_2(U_2\cap U\cap V)$ открыто в $\mathbb{R}^n,$ поскольку $\varphi_2(\varphi^{-1})\colon \varphi(U\cap U_2)\to \varphi_2(U\cap U_2)$ гомеоморфизм.

-- 27.10.2015, 23:13 --

А раз такое выполняется, то в имеющемся сквозном отображении $\varphi_2(U_2\cap U)\xrightarrow[]{\operatorname{ab}\varphi_2^{-1}} U_2\cap U \xrightarrow[]{\operatorname{ab}\varphi} \varphi(U_2\cap U),$

где $\operatorname{ab}$ обозначает сужение отображения снизу и сверху на левое и правое (от стрелки над которой оно написано) множество соответственно,

мы можем их еще ограничить: $\varphi_2(U_2\cap U\cap V)\xrightarrow[]{\operatorname{ab}\varphi_2^{-1}} U_2\cap U\cap V \xrightarrow[]{\operatorname{ab}\varphi} \varphi(U_2\cap U\cap V).$ И при этом уже новые ограниченные отображения останутся гомеоморфизмами.

[Someone]

Уточню условия, а то уже всё путаться начало.
У нас есть некий атлас $\mathscr A$, карта $(U,\varphi,\mathbb R^n)$ из этого атласа, её подкарта $(V,\varphi|_V,\mathbb R^n)$, где $V\subseteq U$, и ещё одна карта $(U_2,\varphi_2,\mathbb R^n)$ из того же атласа $\mathscr A$. По определению карты $\varphi$ ($\varphi_2$) есть биекция $U$ ($U_2$) на открытое подмножество пространства $\mathbb R^n$. Множество $V$ мы также выбрали так, чтобы $\varphi V$ было открытым подмножеством $\mathbb R^n$. Конечно, $\varphi V\subseteq\varphi U$.

Разумеется, карты $(U,\varphi,\mathbb R^n)$ и $(V,\varphi|_V,\mathbb R^n)$ согласованы: отображения $\varphi\varphi|_V^{-1}$ и $\varphi|_V\varphi^{-1}$ из множества $U\cap V=V$ в него же есть просто тождественные отображения, которые принадлежат любому классу гладкости.
Почему согласованы карты $(V,\varphi|_V,\mathbb R^n)$ и $(U_2,\varphi_2,\mathbb R^n)$?
Существенно понимание следующего обстоятельства, которое, мне кажется, Вы упускаете из вида. Поскольку карты $(U,\varphi,\mathbb R^n)$ и $(U_2,\varphi_2,\mathbb R^n)$ согласованы, то
a) множества $\varphi(U\cap U_2)$ и $\varphi_2(U\cap U_2)$ являются открытыми подмножествами $\mathbb R^n$ (здесь имеет смысл считать, что имеются два не совпадающих экземпляра $\mathbb R^n$, чтобы не было желания перепутать $\varphi(U\cap U_2)$ и $\varphi_2(U\cap U_2)$);
b) биекции $\psi_{12}=\varphi_2\varphi^{-1}|_{\varphi(U\cap U_2)}\colon\varphi(U\cap U_2)\to\varphi_2(U\cap U_2)$ и $\psi_{21}=\varphi\varphi_2^{-1}|_{\varphi_2(U\cap U_2)}\colon\varphi_2(U\cap U_2)\to\varphi(U\cap U_2)$, как минимум, непрерывны, и потому являются взаимно обратными гомеоморфизмами.
Поскольку отображение $\varphi\colon U\to\varphi U$ является биекцией, то

$$\varphi(V\cap U_2)=\varphi(V\cap(U\cap U_2))=\varphi V\cap\varphi(U\cap U_2)$$

открыто как пересечение открытых множеств. Таким образом, $\varphi(V\cap U_2)$ является открытым подмножеством $\varphi(U\cap U_2)$, а так как гомеоморфизм является открытым отображением (образ открытого множества является открытым множеством), то $\varphi_2(V\cap U_2)=\psi_{12}\varphi(V\cap U_2)$ является открытым подмножеством пространства $\varphi_2(U\cap U_2)=\psi_{12}\varphi(U\cap U_2)$. Поскольку пространство $\varphi_2(U\cap U_2)$ является открытым подмножеством $\mathbb R^n$, то и его ($\varphi_2(U\cap U_2)$) открытое подмножество $\varphi_2(V\cap U_2)$ открыто в $\mathbb R^n$. Таким образом, пункт a) определения согласованных карт мы проверили.

Проверьте теперь пункт b).

-- Ср окт 28, 2015 01:42:32 --

Пока писал, Вы что-то похожее написали, а я это заметил только после отправки своего сообщения. Сверьте, пожалуйста, сами.

[Dmitry Tkachenko]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1067599 писал(а):

еще понятно, что какая-то часть $\varphi(V)$ лежит в $\varphi(U\cap U_2).$ Эта часть открыта в $\mathbb{R}^n$ (почему? как пересечение открытых в $\mathbb{R}^n$ ?). Тогда $\varphi|_{V}(U_2\cap V)$ открыто в $\mathbb{R}^n.$

Вот $\varphi(U_2\cap V)$ и $\varphi(U_2\cap U)$ открыты в $\mathbb{R}^n.$ Их пересечение $\varphi(V)\cap \varphi(U_2\cap U)$ открыто в $\mathbb{R}^n.$

Из этого следует, что $\varphi(U_2\cap V\cap U)$ открыто в $\mathbb{R}^n$ ?

Цитата:

Пока писал, Вы что-то похожее написали, а я это заметил только после отправки своего сообщения. Сверьте, пожалуйста, сами.

Да, сходится!!! И ответ на вопрос нашел! Спасибо огромное! Я неограниченно благодарен! Уже стал немного разбираться! Буду проверять пункт b). Потом пробовать доказывать общее утверждение дальше.