2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение27.10.2015, 17:20 


11/07/14
132
Someone в сообщении #1067408 писал(а):
Во-вторых, не следует загромождать доказательство ненужными условиями.
Не буду.

Someone в сообщении #1067408 писал(а):
Э-э-э… А в чём проблема? Если $(U,\varphi,E)$ — карта, $V\subset U$ — такое подмножество, что $\varphi U$ открыто в $E$, то $(V,\varphi|_V,E)$ — тоже карта, и присоединение её к атласу не меняет гладкости атласа.
В смысле $\varphi(V)$ открыто в $E.$ Но смысл в том, чтобы $(V,\varphi|_V,E)$ была согласована с любой другой картой из этого атласа. Тогда он останется атласом. У меня не получается это показать.

Someone в сообщении #1067408 писал(а):
P.S. Извините, у меня сейчас нет времени для дальнейшей писанины. Может быть, попозже ещё напишу, или кто-нибудь другой напишет.
Вряд ли кто-то захочет в этом разобраться до конца. У меня складывается ощущение, что эквивалентность атласов для произвольного множества $X$ просто не имеет места. А если имеет, то это точно не очевидный факт.

Brukvalub в сообщении #1065957 писал(а):
А что там доказывать? :shock:
Brukvalub, могли бы Вы посмотреть на мою попытку доказательства транзитивности для случая $\mathcal{C}^0$ и, если Вы согласитесь с этой попыткой, лишь наметить план доказательства того, что в пункте 3) после первого пополнения все карты в атласе $\mathscr{B}$ будут попарно $\mathcal{C}^0$-согласованы. Попытку доказательства свернул в оффтоп.

(Оффтоп)

1) Рассмотрим три атласа $\mathscr{A} =\{(\varphi_{\alpha}, U_{\alpha})\}, \mathscr{B}=\{(\psi_{\beta}, V_{\beta})\}, \mathscr{C}=\{(\theta_{\gamma}, W_{\gamma})\},$ где $\alpha, \beta, \gamma \in G,$ карты которых действуют в открытые подмножества банохова пространства $E, E'$ и $E''$ соответственно. Зафиксируем произвольные карты $(\varphi_{\alpha}, U_{\alpha})$ и $(\theta_{\gamma}, W_{\gamma}),$ такие, что $U_{\alpha} \cap W_{\gamma} \ne \varnothing.$ Обозначим $(\varphi, U):=(\varphi_{\alpha}, U_{\alpha}), (\theta, W):=(\theta_{\gamma}, W_{\gamma})$ и $O :=U_{\alpha} \cap W_{\gamma}.$

2) Рассмотрим покрытие множества $O$ носителями карт из $\mathscr{B},$ т.е. множество $\bigg\{V_{\beta} \colon \bigg( \bigcup\limits_{\beta \in T} V_{\beta} \bigg)\cap O=O \bigg\}.$

3) Далее, пополним атлас $\mathscr{B}$ такими картами: $(V_{\beta}\cap U, \psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap U})$ и $(V_{\beta}\cap W, \psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap W}), \beta \in T.$ Теперь мы можем пополнить атлас $\mathscr{B}$ следующими картами: $(V_{\beta}\cap U\cap W, \psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap U\cap W}), \beta \in T.$

4) $\forall \beta \in T$ имеем, что $\psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap U\cap W}(V_{\beta}\cap U\cap W)$ открыто в $E',$ значит, $\psi_{\beta}(V_{\beta}\cap U\cap W)$ открыто в $E'.$

5) Предположим, что $\varphi (U\cap W)$ не открыто в $E.$ Тогда $\exists \beta \in T \colon \varphi (U\cap W \cap V_{\beta})$ не открыто в $E.$ Но тогда гомеоморфизм $\varphi(\psi_{\beta}^{-1}) \colon \psi_{\beta}(V_{\beta}\cap U\cap W) \to \varphi (U\cap W \cap V_{\beta})$ отображает открытое подмножество $E'$ на не открытое подмножество $E.$ Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение27.10.2015, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Dmitry Tkachenko в сообщении #1067444 писал(а):
Someone в сообщении #1067408 писал(а):
Э-э-э… А в чём проблема? Если $(U,\varphi,E)$ — карта, $V\subset U$ — такое подмножество, что $\varphi U$ открыто в $E$, то $(V,\varphi|_V,E)$ — тоже карта, и присоединение её к атласу не меняет гладкости атласа.
В смысле $\varphi(V)$ открыто в $E.$
Да, конечно, $\varphi V$ открыто в $E$.

Dmitry Tkachenko в сообщении #1067444 писал(а):
Но смысл в том, чтобы $(V,\varphi|_V,E)$ была согласована с любой другой картой из этого атласа. Тогда он останется атласом. У меня не получается это показать.
Ну так продемонстрируйте нам свою попытку доказательства. Вот есть карта $U',\varphi',E'$ (кстати, у меня нет этой книги; там точно $E'$, а не $E$?), что $V\cap U'\neq\varnothing$. Показывайте согласованность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение27.10.2015, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Неохота мне в эту тягомотину влезать. Вам и так Someone хорошо помогает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение27.10.2015, 19:56 


11/07/14
132
Someone в сообщении #1067484 писал(а):
Ну так продемонстрируйте нам свою попытку доказательства. Вот есть карта $U',\varphi',E'$ (кстати, у меня нет этой книги; там точно $E'$, а не $E$?), что $V\cap U'\neq\varnothing$. Показывайте согласованность.
В книге $E',$ но пусть сейчаc $E=E'=E''=\mathbb{R}^n.$ Для доказательства согласованности сначала покажем, что:

для любой карты $(U_2, \varphi_2), U_2\cap V\ne \varnothing,$ из первого атласа $\varphi (V\cap U_2)$ открыто в $\mathbb{R}^n.$

Пусть $\varphi (V\cap U_2)$ неоткрыто в $\mathbb{R}^n.$ Дальше я должен прийти к противоречию с чем либо, но не прихожу. В связи с этим нужно строить контр-пример. А как Вы приходите к противоречию?

-- 27.10.2015, 18:56 --

Brukvalub в сообщении #1067493 писал(а):
Неохота мне в эту тягомотину влезать. Вам и так Someone хорошо помогает.
Спасибо за ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение27.10.2015, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Dmitry Tkachenko в сообщении #1067505 писал(а):
Пусть $\varphi (V\cap U_2)$ неоткрыто в $\mathbb{R}^n.$ Дальше я должен прийти к противоречию
Пошлите куда подальше противоречия. Достаточно свойств открытых множеств и гомеоморфизмов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение27.10.2015, 23:44 


11/07/14
132
Someone в сообщении #1067589 писал(а):
Пошлите куда подальше противоречия. Достаточно свойств открытых множеств и гомеоморфизмов.
Честно не понимаю! В который раз рисую себе картинку (могу фотки переслать). $\varphi(U\cap U_2)$ открыто в $\mathbb{R}^n,$ еще понятно, что какая-то часть $\varphi(V)$ лежит в $\varphi(U\cap U_2).$ Эта часть открыта в $\mathbb{R}^n$ (почему? как пересечение открытых в $\mathbb{R}^n$ ?). Тогда $\varphi|_{V}(U_2\cap V)$ открыто в $\mathbb{R}^n.$

-- 27.10.2015, 22:50 --

Теперь посмотрим на $\varphi_2(U_2 \cap V).$

-- 27.10.2015, 23:02 --

Так как $\varphi|_V(U_2\cap V)$ открыто в $\mathbb{R}^n$ и является подмножеством $\varphi(U_2\cap U),$ то $\varphi(U_2\cap U\cap V)$ открыто в $\mathbb{R}^n$ и, значит, $\varphi_2(U_2\cap U\cap V)$ открыто в $\mathbb{R}^n,$ поскольку $\varphi_2(\varphi^{-1})\colon \varphi(U\cap U_2)\to \varphi_2(U\cap U_2)$ гомеоморфизм.

-- 27.10.2015, 23:13 --

А раз такое выполняется, то в имеющемся сквозном отображении $\varphi_2(U_2\cap U)\xrightarrow[]{\operatorname{ab}\varphi_2^{-1}} U_2\cap U \xrightarrow[]{\operatorname{ab}\varphi} \varphi(U_2\cap U),$

где $\operatorname{ab}$ обозначает сужение отображения снизу и сверху на левое и правое (от стрелки над которой оно написано) множество соответственно,

мы можем их еще ограничить: $\varphi_2(U_2\cap U\cap V)\xrightarrow[]{\operatorname{ab}\varphi_2^{-1}} U_2\cap U\cap V \xrightarrow[]{\operatorname{ab}\varphi} \varphi(U_2\cap U\cap V).$ И при этом уже новые ограниченные отображения останутся гомеоморфизмами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение28.10.2015, 01:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Уточню условия, а то уже всё путаться начало.
У нас есть некий атлас $\mathscr A$, карта $(U,\varphi,\mathbb R^n)$ из этого атласа, её подкарта $(V,\varphi|_V,\mathbb R^n)$, где $V\subseteq U$, и ещё одна карта $(U_2,\varphi_2,\mathbb R^n)$ из того же атласа $\mathscr A$. По определению карты $\varphi$ ($\varphi_2$) есть биекция $U$ ($U_2$) на открытое подмножество пространства $\mathbb R^n$. Множество $V$ мы также выбрали так, чтобы $\varphi V$ было открытым подмножеством $\mathbb R^n$. Конечно, $\varphi V\subseteq\varphi U$.

Разумеется, карты $(U,\varphi,\mathbb R^n)$ и $(V,\varphi|_V,\mathbb R^n)$ согласованы: отображения $\varphi\varphi|_V^{-1}$ и $\varphi|_V\varphi^{-1}$ из множества $U\cap V=V$ в него же есть просто тождественные отображения, которые принадлежат любому классу гладкости.
Почему согласованы карты $(V,\varphi|_V,\mathbb R^n)$ и $(U_2,\varphi_2,\mathbb R^n)$?
Существенно понимание следующего обстоятельства, которое, мне кажется, Вы упускаете из вида. Поскольку карты $(U,\varphi,\mathbb R^n)$ и $(U_2,\varphi_2,\mathbb R^n)$ согласованы, то
a) множества $\varphi(U\cap U_2)$ и $\varphi_2(U\cap U_2)$ являются открытыми подмножествами $\mathbb R^n$ (здесь имеет смысл считать, что имеются два не совпадающих экземпляра $\mathbb R^n$, чтобы не было желания перепутать $\varphi(U\cap U_2)$ и $\varphi_2(U\cap U_2)$);
b) биекции $\psi_{12}=\varphi_2\varphi^{-1}|_{\varphi(U\cap U_2)}\colon\varphi(U\cap U_2)\to\varphi_2(U\cap U_2)$ и $\psi_{21}=\varphi\varphi_2^{-1}|_{\varphi_2(U\cap U_2)}\colon\varphi_2(U\cap U_2)\to\varphi(U\cap U_2)$, как минимум, непрерывны, и потому являются взаимно обратными гомеоморфизмами.
Поскольку отображение $\varphi\colon U\to\varphi U$ является биекцией, то $$\varphi(V\cap U_2)=\varphi(V\cap(U\cap U_2))=\varphi V\cap\varphi(U\cap U_2)$$ открыто как пересечение открытых множеств. Таким образом, $\varphi(V\cap U_2)$ является открытым подмножеством $\varphi(U\cap U_2)$, а так как гомеоморфизм является открытым отображением (образ открытого множества является открытым множеством), то $\varphi_2(V\cap U_2)=\psi_{12}\varphi(V\cap U_2)$ является открытым подмножеством пространства $\varphi_2(U\cap U_2)=\psi_{12}\varphi(U\cap U_2)$. Поскольку пространство $\varphi_2(U\cap U_2)$ является открытым подмножеством $\mathbb R^n$, то и его ($\varphi_2(U\cap U_2)$) открытое подмножество $\varphi_2(V\cap U_2)$ открыто в $\mathbb R^n$. Таким образом, пункт a) определения согласованных карт мы проверили.

Проверьте теперь пункт b).

-- Ср окт 28, 2015 01:42:32 --

Пока писал, Вы что-то похожее написали, а я это заметил только после отправки своего сообщения. Сверьте, пожалуйста, сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение28.10.2015, 01:55 


11/07/14
132
Dmitry Tkachenko в сообщении #1067599 писал(а):
еще понятно, что какая-то часть $\varphi(V)$ лежит в $\varphi(U\cap U_2).$ Эта часть открыта в $\mathbb{R}^n$ (почему? как пересечение открытых в $\mathbb{R}^n$ ?). Тогда $\varphi|_{V}(U_2\cap V)$ открыто в $\mathbb{R}^n.$
Вот $\varphi(U_2\cap V)$ и $\varphi(U_2\cap U)$ открыты в $\mathbb{R}^n.$ Их пересечение $\varphi(V)\cap \varphi(U_2\cap U)$ открыто в $\mathbb{R}^n.$

Из этого следует, что $\varphi(U_2\cap V\cap U)$ открыто в $\mathbb{R}^n$ ?

Цитата:
Пока писал, Вы что-то похожее написали, а я это заметил только после отправки своего сообщения. Сверьте, пожалуйста, сами.
Да, сходится!!! И ответ на вопрос нашел! Спасибо огромное! Я неограниченно благодарен! Уже стал немного разбираться! Буду проверять пункт b). Потом пробовать доказывать общее утверждение дальше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group