Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки

[Dmitry Tkachenko]

В книге Бурбаки Н. "Аналитические и дифференцируемые многообразия", издательство "Мир", Москва, 1975. - 220 с, пункты 5.1.1-5.1.3 (cтр. 40) утверждают:

Цитата:

5.1.1. Пусть $X$ — это множество. Картой на $X$ называется тройка $c=(U,\varphi,E),$ где $U$ — подмножество в $X, E$ — банахово пространство и $\varphi$ — биекция из $U$ на открытое подмножество в $E.$ Говорят, что $U$ есть область определения карты $c.$ Если $E$ имеет конечную размернось $n,$ говорят, что $c$ имеет размерность $n.$ В противном случае полагаем $\operatorname{dim} c=+\infty.$

5.1.2. Говорят, что две карты $c=(U,\varphi,E)$ и $c’=(U’,\varphi’,E’)$ на $X \quad \mathcal{C}^r$-согласованы (или просто согласованы, если не может быть неясности относительно $r$), когда выполняются условия:
(a) $\varphi(U \cap U’)$ (соотв. $\varphi’(U \cap U’)$ открыто в $E$ (соотв. $E’$);
(b) отображение $\varphi \circ \varphi’^{-1}$ (соотв. $\varphi’ \circ \varphi^{-1}$) из $\varphi’(U\cap U’)$ на $\varphi(U\cap U’)$ (соотв. из $\varphi(U\cap U’)$ на $\varphi’(U\cap U’)$) принадлежит классу $\mathcal{C}^r$ (см. 2.3.1, 3.2.1 и 4.2.1).

5.1.3. $\mathcal{C}^r$-атласом (или просто атласом) множества $X$ называется множество попарно $\mathcal{C}^r$-согласованных карт на $X,$ объединение областей определения которых есть все $X.$ Два атласа $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ множества $X$ называются $\mathcal{C}^r$-эквивалентными, если $\mathscr{A} \cup \mathscr{B}$ является атласом. Отношение $\mathcal{C}^r$-эквивалентности между атласами есть отношение эквивалентности.

Интересует доказательство того, что отношение $\mathcal{C}^r$-эквивалентности между атласами есть отношение эквивалентности. Ссылок на доказательства они не дают. Помогите найти доказательство/доказать этот факт.

[Brukvalub]

А что там доказывать? Тривиально проверяются рефлексивность, симметричность и транзитивность, если выучить теорему о непрерывности и о производной сложной функции.

[Dmitry Tkachenko]

Brukvalub, проблемы доказательства: пусть есть третий атлас $\mathscr{C},$ эквивалентный второму. Нужно показать, что первый эквивалентен третьему. Не получается показать, что $\varphi(U \cap U’')$ (соотв. $\varphi’'(U \cap U’')$) открыто в $E$ (соотв. $E’$). Пробовал от противного, типа пусть не открыто, — не вижу противоречий.

-- 23.10.2015, 22:19 --

То, что $\mathscr{A}\cup\mathscr{C}$ есть $\mathcal{C}^r$-атлас означает, что у них карты попарно $\mathcal{C}^r$ согласованы. Я проверяю открытость соответствующих образов хотя бы в $\mathbb{R}^n.$ Предполагаю, что атласы (первый, второй и второй, третий) у нас $\mathcal{C}^0$-эквивалентны. То есть отображения $\varphi \circ \varphi''^{-1}$ и $\varphi'' \circ \varphi^{-1}$ из соответствующих образов пересечений в соответствующие являются гомеоморфизмами.

[Someone]

Рассмотрите объединение всех трёх атласов.

[Dmitry Tkachenko]

Someone, $\mathscr{A} \cup \mathscr{B}$ есть $\mathcal{C}^r$-атлас, $\mathscr{B}\cup \mathscr{C}$ также есть $\mathcal{C}^r$-атлас. Что можно сказать об объединении $\mathscr{A} \cup \mathscr{B}\cup \mathscr{C}$ ? Почему это $\mathcal{C}^r$-атлас?

[Someone]

Вот это Вы и должны доказать.

Пополните это объединение трёх атласов попарными пересечениями карт атласов $\mathscr A$ и $\mathscr B$. Точнее, если есть две карты $(U,\varphi,E)\in\mathscr A$ и $(U',\varphi',E')\in\mathscr B$, то нужно рассмотреть карты $(U\cap U',\varphi|_{U\cap U'},E)$ и $(U\cap U',\varphi'|_{U\cap U'},E')$.

[Dmitry Tkachenko]

Someone, пополнил такими вот пересечениями, но всё равно не могу понять, почему, например, $\varphi(U\cap U'')$ открыто в $E$ ? Пусть $U\cap U' \cap U'' \ne \varnothing.$ Какая-то часть $U\cap U''$ содержится в $U\cap U'.$ Никаких противоречий. Не получается у меня пока увидеть, почему $\mathscr{A}\cup \mathscr{B} \cup \mathscr{C}$ есть $\mathcal{C}^r$-атлас...

[Someone]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1066501 писал(а):

не могу понять, почему, например, $\varphi(U\cap U'')$ открыто в $E$

Что такое $U$ и $U''$? Что такое $\varphi$?

[Dmitry Tkachenko]

$U$ --- носитель карты $\varphi$ из атласа $\mathscr{A}.$ А $U''$ --- носитель карты $\varphi''$ из атласа $\mathscr{C}.$

[Dmitry Tkachenko]

Someone, подскажите, может я не правильно понимаю, что нужно показать, точне как? Я всё время пытаюсь показать, что первый и третий атлас эквивалентны, следующим образом: беру какую-то карту из первого и проверяю согласованность с какой-то картой из третьего; одно из условий --- открытость образа пересечения носителей, с которым сразу возникает проблема.

Вы предлагаете пополнить объединение пересечениями карт первого и второго атласов. Не совсем понимаю, чем это помогает

[Someone]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1066626 писал(а):

$U$ --- носитель карты $\varphi$ из атласа $\mathscr{A}.$ А $U''$ --- носитель карты $\varphi''$ из атласа $\mathscr{C}.$

пытаюсь подвести Вас к ответу на вопрос

Dmitry Tkachenko в сообщении #1066501 писал(а):

почему, например, $\varphi(U\cap U'')$ открыто в $E$ ?

Покройте пересечение $U\cap U''$ носителями карт атласа $\mathscr B$, рассмотрите пересечения вида $U\cap U'\cap U''$ и воспользуйтесь тем, что "открытое подмножество открытого множества само есть открытое множество".

Dmitry Tkachenko в сообщении #1066813 писал(а):

беру какую-то карту из первого и проверяю согласованность с какой-то картой из третьего; одно из условий --- открытость образа пересечения носителей, с которым сразу возникает проблема.

Но Вы же никак не используете атлас $\mathscr B$.

[Dmitry Tkachenko]

Зафиксируем карту $(U, \varphi)$ из $\mathscr{A}$ и карту $(U'', \varphi'')$ из $\mathscr{C}.$ Пусть их пересечение покрывается двумя картами $(U'_1, \varphi'_1), (U'_2, \varphi'_2)$ из $\mathscr{B}.$ Причем пересечения $U \cap U'_i, U'_i\cap U''$ и $U \cap U''$ содержат что-то еще, кроме $U\cap U'_i \cap U'',$ где $i=1,2.$ Вот я вообразил себе такой вариант.

Someone в сообщении #1066941 писал(а):

Покройте пересечение $U\cap U''$ носителями карт атласа $\mathscr B$

Это есть. Покрыл двумя носителями $U'_1, U'_2.$

Someone в сообщении #1066941 писал(а):

рассмотрите пересечения вида $U\cap U'\cap U''$ и воспользуйтесь тем, что "открытое подмножество открытого множества само есть открытое множество"

Рассмотрим пересечение $U\cap U'_1 \cap U''.$ Дальше впадаю в ступор. Где открытое подмножество? В каком открытом множестве?

Разве пересечение $U\cap U'_1 \cap U''$ сейчас является картой какого-то атласа? Каким отображением действовать на него. И что это действие даст. Например, $\varphi'_1 (U'_1 \cap U'')$ открыто в $E'.$ Но из этого же не следует, что $\varphi'_1 (U\cap U'_1 \cap U'')$ открыто в $E'.$

[Dmitry Tkachenko]

Someone, я сейчас что-то напишу, если будет ошибка, подскажите пожалуйста.

1) Рассмотрим три атласа $\mathscr{A} =\{(\varphi_{\alpha}, U_{\alpha})\}, \mathscr{B}=\{(\psi_{\beta}, V_{\beta})\}, \mathscr{C}=\{(\theta_{\gamma}, W_{\gamma})\},$ где $\alpha, \beta, \gamma \in G,$ карты которых действуют в открытое подмножество банохова пространства $E, E'$ и $E''$ соответственно. Зафиксируем произвольные карты $(\varphi_{\alpha}, U_{\alpha})$ и $(\theta_{\gamma}, W_{\gamma}),$ такие, что $U_{\alpha} \cap W_{\gamma} \ne \varnothing.$ Обозначим $(\varphi, U):=(\varphi_{\alpha}, U_{\alpha}), (\theta, W):=(\theta_{\gamma}, W_{\gamma})$ и $O :=U_{\alpha} \cap W_{\gamma}.$

2) Рассмотрим экстремальное покрытие множества $O$ носителями карт из $\mathscr{B},$ т.е. множество $\bigg\{V_{\beta} \colon \Big( \bigcup\limits_{\beta \in T} V_{\beta} \Big)\cap O=O, \bigg( \Big( \bigcup\limits_{\beta \in T} V_{\beta} \Big)\setminus V_{\overline{\beta}} \bigg)\cap O \ne O \quad \forall \overline{\beta}\in T \bigg\}.$ (Доказывать существование такого покрытия умею и понимаю, что эта конструкция сейчас не обязательна. Так я пытаюсь в мыслях хоть немного порядок сделать.)

3) Далее, пополним атлас $\mathscr{B}$ такими картами: $(V_{\beta}\cap U, \psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap U})$ и $(V_{\beta}\cap W, \psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap W}), \beta \in T.$ Теперь мы можем пополнить атлас $\mathscr{B}$ следующими картами: $(V_{\beta}\cap U\cap W, \psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap U\cap W}), \beta \in T.$

4) $\forall \beta \in T$ имеем, что $\psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap U\cap W}(V_{\beta}\cap U\cap W)$ открыто в $E',$ значит, $\psi_{\beta}(V_{\beta}\cap U\cap W)$ открыто в $E'.$

5) Предположим, что $\varphi (U\cap W)$ не открыто в $E.$ Тогда $\exists \beta \in T \colon \varphi (U\cap W \cap V_{\beta})$ не открыто в $E.$ Но тогда гомеоморфизм $\varphi(\psi_{\beta}^{-1}) \colon \psi_{\beta}(V_{\beta}\cap U\cap W) \to \varphi (U\cap W \cap V_{\beta})$ отображает открытое подмножество $E'$ на не открытое подмножество $E.$ Противоречие.

[Dmitry Tkachenko]

Сейчас не понимаю, почему в пункте 3) после первого пополнения атлас $\mathscr{B}$ останется $\mathcal{C}^r$ атласом, то есть все карты будут согласованными.

[Someone]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1067011 писал(а):

где $\alpha, \beta, \gamma \in G,$

Почему это у Вас индексные множества одинаковые для всех атласов? Это, конечно, можно сделать, но может быть неудобно.

Dmitry Tkachenko в сообщении #1067011 писал(а):

Рассмотрим экстремальное покрытие

Минимальное, что ли? То есть, такое, что при выкидывании любого элемента остаётся семейство, которое покрытием не является?

Во-первых, такого покрытия может не существовать (пример — покрытие интервала $(-2,2)\subset\mathbb R$ семейством интервалов $\{(-2+1/n,2-1/n):n\in\mathbb N_+\}$).
Во-вторых, не следует загромождать доказательство ненужными условиями.

Dmitry Tkachenko в сообщении #1067123 писал(а):

Сейчас не понимаю, почему в пункте 3) после первого пополнения атлас $\mathscr{B}$ останется $\mathcal{C}^r$ атласом, то есть все карты будут согласованными.

Э-э-э… А в чём проблема? Если $(U,\varphi,E)$ — карта, $V\subset U$ — такое подмножество, что $\varphi U$ открыто в $E$, то $(V,\varphi|_V,E)$ — тоже карта, и присоединение её к атласу не меняет гладкости атласа.

P.S. Извините, у меня сейчас нет времени для дальнейшей писанины. Может быть, попозже ещё напишу, или кто-нибудь другой напишет.