2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение23.10.2015, 23:00 


11/07/14
132
В книге Бурбаки Н. "Аналитические и дифференцируемые многообразия", издательство "Мир", Москва, 1975. - 220 с, пункты 5.1.1-5.1.3 (cтр. 40) утверждают:
Цитата:
5.1.1. Пусть $X$ — это множество. Картой на $X$ называется тройка $c=(U,\varphi,E),$ где $U$ — подмножество в $X, E$ — банахово пространство и $\varphi$ — биекция из $U$ на открытое подмножество в $E.$ Говорят, что $U$ есть область определения карты $c.$ Если $E$ имеет конечную размернось $n,$ говорят, что $c$ имеет размерность $n.$ В противном случае полагаем $\operatorname{dim} c=+\infty.$

5.1.2. Говорят, что две карты $c=(U,\varphi,E)$ и $c’=(U’,\varphi’,E’)$ на $X \quad \mathcal{C}^r$-согласованы (или просто согласованы, если не может быть неясности относительно $r$), когда выполняются условия:
(a) $\varphi(U \cap U’)$ (соотв. $\varphi’(U \cap U’)$ открыто в $E$ (соотв. $E’$);
(b) отображение $\varphi \circ \varphi’^{-1}$ (соотв. $\varphi’ \circ \varphi^{-1}$) из $\varphi’(U\cap U’)$ на $\varphi(U\cap U’)$ (соотв. из $\varphi(U\cap U’)$ на $\varphi’(U\cap U’)$) принадлежит классу $\mathcal{C}^r$ (см. 2.3.1, 3.2.1 и 4.2.1).

5.1.3. $\mathcal{C}^r$-атласом (или просто атласом) множества $X$ называется множество попарно $\mathcal{C}^r$-согласованных карт на $X,$ объединение областей определения которых есть все $X.$ Два атласа $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ множества $X$ называются $\mathcal{C}^r$-эквивалентными, если $\mathscr{A} \cup \mathscr{B}$ является атласом. Отношение $\mathcal{C}^r$-эквивалентности между атласами есть отношение эквивалентности.

Интересует доказательство того, что отношение $\mathcal{C}^r$-эквивалентности между атласами есть отношение эквивалентности. Ссылок на доказательства они не дают. Помогите найти доказательство/доказать этот факт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение23.10.2015, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
А что там доказывать? :shock: Тривиально проверяются рефлексивность, симметричность и транзитивность, если выучить теорему о непрерывности и о производной сложной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение23.10.2015, 23:10 


11/07/14
132
Brukvalub, проблемы доказательства: пусть есть третий атлас $\mathscr{C},$ эквивалентный второму. Нужно показать, что первый эквивалентен третьему. Не получается показать, что $\varphi(U \cap U’')$ (соотв. $\varphi’'(U \cap U’')$) открыто в $E$ (соотв. $E’$). Пробовал от противного, типа пусть не открыто, — не вижу противоречий.

-- 23.10.2015, 22:19 --

То, что $\mathscr{A}\cup\mathscr{C}$ есть $\mathcal{C}^r$-атлас означает, что у них карты попарно $\mathcal{C}^r$ согласованы. Я проверяю открытость соответствующих образов хотя бы в $\mathbb{R}^n.$ Предполагаю, что атласы (первый, второй и второй, третий) у нас $\mathcal{C}^0$-эквивалентны. То есть отображения $\varphi \circ \varphi''^{-1}$ и $\varphi'' \circ \varphi^{-1}$ из соответствующих образов пересечений в соответствующие являются гомеоморфизмами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение24.10.2015, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Рассмотрите объединение всех трёх атласов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение24.10.2015, 15:30 


11/07/14
132
Someone, $\mathscr{A} \cup \mathscr{B}$ есть $\mathcal{C}^r$-атлас, $\mathscr{B}\cup \mathscr{C}$ также есть $\mathcal{C}^r$-атлас. Что можно сказать об объединении $\mathscr{A} \cup \mathscr{B}\cup \mathscr{C}$ ? Почему это $\mathcal{C}^r$-атлас?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение24.10.2015, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Вот это Вы и должны доказать.

Пополните это объединение трёх атласов попарными пересечениями карт атласов $\mathscr A$ и $\mathscr B$. Точнее, если есть две карты $(U,\varphi,E)\in\mathscr A$ и $(U',\varphi',E')\in\mathscr B$, то нужно рассмотреть карты $(U\cap U',\varphi|_{U\cap U'},E)$ и $(U\cap U',\varphi'|_{U\cap U'},E')$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение25.10.2015, 12:56 


11/07/14
132
Someone, пополнил такими вот пересечениями, но всё равно не могу понять, почему, например, $\varphi(U\cap U'')$ открыто в $E$ ? Пусть $U\cap U' \cap U'' \ne \varnothing.$ Какая-то часть $U\cap U''$ содержится в $U\cap U'.$ Никаких противоречий. Не получается у меня пока увидеть, почему $\mathscr{A}\cup \mathscr{B} \cup \mathscr{C}$ есть $\mathcal{C}^r$-атлас...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение25.10.2015, 13:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Dmitry Tkachenko в сообщении #1066501 писал(а):
не могу понять, почему, например, $\varphi(U\cap U'')$ открыто в $E$
Что такое $U$ и $U''$? Что такое $\varphi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение25.10.2015, 16:59 


11/07/14
132
$U$ --- носитель карты $\varphi$ из атласа $\mathscr{A}.$ А $U''$ --- носитель карты $\varphi''$ из атласа $\mathscr{C}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение25.10.2015, 21:48 


11/07/14
132
Someone, подскажите, может я не правильно понимаю, что нужно показать, точне как? Я всё время пытаюсь показать, что первый и третий атлас эквивалентны, следующим образом: беру какую-то карту из первого и проверяю согласованность с какой-то картой из третьего; одно из условий --- открытость образа пересечения носителей, с которым сразу возникает проблема.

Вы предлагаете пополнить объединение пересечениями карт первого и второго атласов. Не совсем понимаю, чем это помогает :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение26.10.2015, 00:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Dmitry Tkachenko в сообщении #1066626 писал(а):
$U$ --- носитель карты $\varphi$ из атласа $\mathscr{A}.$ А $U''$ --- носитель карты $\varphi''$ из атласа $\mathscr{C}.$
пытаюсь подвести Вас к ответу на вопрос
Dmitry Tkachenko в сообщении #1066501 писал(а):
почему, например, $\varphi(U\cap U'')$ открыто в $E$ ?
Покройте пересечение $U\cap U''$ носителями карт атласа $\mathscr B$, рассмотрите пересечения вида $U\cap U'\cap U''$ и воспользуйтесь тем, что "открытое подмножество открытого множества само есть открытое множество".

Dmitry Tkachenko в сообщении #1066813 писал(а):
беру какую-то карту из первого и проверяю согласованность с какой-то картой из третьего; одно из условий --- открытость образа пересечения носителей, с которым сразу возникает проблема.
Но Вы же никак не используете атлас $\mathscr B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение26.10.2015, 03:21 


11/07/14
132
Зафиксируем карту $(U, \varphi)$ из $\mathscr{A}$ и карту $(U'', \varphi'')$ из $\mathscr{C}.$ Пусть их пересечение покрывается двумя картами $(U'_1, \varphi'_1), (U'_2, \varphi'_2)$ из $\mathscr{B}.$ Причем пересечения $U \cap U'_i, U'_i\cap U''$ и $U \cap U''$ содержат что-то еще, кроме $U\cap U'_i \cap U'',$ где $i=1,2.$ Вот я вообразил себе такой вариант.

Someone в сообщении #1066941 писал(а):
Покройте пересечение $U\cap U''$ носителями карт атласа $\mathscr B$
Это есть. Покрыл двумя носителями $U'_1, U'_2.$

Someone в сообщении #1066941 писал(а):
рассмотрите пересечения вида $U\cap U'\cap U''$ и воспользуйтесь тем, что "открытое подмножество открытого множества само есть открытое множество"
Рассмотрим пересечение $U\cap U'_1 \cap U''.$ Дальше впадаю в ступор. Где открытое подмножество? В каком открытом множестве? :?

Разве пересечение $U\cap U'_1 \cap U''$ сейчас является картой какого-то атласа? Каким отображением действовать на него. И что это действие даст. Например, $\varphi'_1 (U'_1 \cap U'')$ открыто в $E'.$ Но из этого же не следует, что $\varphi'_1 (U\cap U'_1 \cap U'')$ открыто в $E'.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение26.10.2015, 06:10 


11/07/14
132
Someone, я сейчас что-то напишу, если будет ошибка, подскажите пожалуйста.

1) Рассмотрим три атласа $\mathscr{A} =\{(\varphi_{\alpha}, U_{\alpha})\}, \mathscr{B}=\{(\psi_{\beta}, V_{\beta})\}, \mathscr{C}=\{(\theta_{\gamma}, W_{\gamma})\},$ где $\alpha, \beta, \gamma \in G,$ карты которых действуют в открытое подмножество банохова пространства $E, E'$ и $E''$ соответственно. Зафиксируем произвольные карты $(\varphi_{\alpha}, U_{\alpha})$ и $(\theta_{\gamma}, W_{\gamma}),$ такие, что $U_{\alpha} \cap W_{\gamma} \ne \varnothing.$ Обозначим $(\varphi, U):=(\varphi_{\alpha}, U_{\alpha}), (\theta, W):=(\theta_{\gamma}, W_{\gamma})$ и $O :=U_{\alpha} \cap W_{\gamma}.$

2) Рассмотрим экстремальное покрытие множества $O$ носителями карт из $\mathscr{B},$ т.е. множество $\bigg\{V_{\beta} \colon \Big( \bigcup\limits_{\beta \in T} V_{\beta} \Big)\cap O=O, \bigg( \Big( \bigcup\limits_{\beta \in T} V_{\beta} \Big)\setminus V_{\overline{\beta}} \bigg)\cap O \ne O \quad \forall \overline{\beta}\in T \bigg\}.$ (Доказывать существование такого покрытия умею и понимаю, что эта конструкция сейчас не обязательна. Так я пытаюсь в мыслях хоть немного порядок сделать.)

3) Далее, пополним атлас $\mathscr{B}$ такими картами: $(V_{\beta}\cap U, \psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap U})$ и $(V_{\beta}\cap W, \psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap W}), \beta \in T.$ Теперь мы можем пополнить атлас $\mathscr{B}$ следующими картами: $(V_{\beta}\cap U\cap W, \psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap U\cap W}), \beta \in T.$

4) $\forall \beta \in T$ имеем, что $\psi_{\beta}|_{V_{\beta}\cap U\cap W}(V_{\beta}\cap U\cap W)$ открыто в $E',$ значит, $\psi_{\beta}(V_{\beta}\cap U\cap W)$ открыто в $E'.$

5) Предположим, что $\varphi (U\cap W)$ не открыто в $E.$ Тогда $\exists \beta \in T \colon \varphi (U\cap W \cap V_{\beta})$ не открыто в $E.$ Но тогда гомеоморфизм $\varphi(\psi_{\beta}^{-1}) \colon \psi_{\beta}(V_{\beta}\cap U\cap W) \to \varphi (U\cap W \cap V_{\beta})$ отображает открытое подмножество $E'$ на не открытое подмножество $E.$ Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение26.10.2015, 16:53 


11/07/14
132
Сейчас не понимаю, почему в пункте 3) после первого пополнения атлас $\mathscr{B}$ останется $\mathcal{C}^r$ атласом, то есть все карты будут согласованными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти доказательство утверждения из книги Бурбаки
Сообщение27.10.2015, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Dmitry Tkachenko в сообщении #1067011 писал(а):
где $\alpha, \beta, \gamma \in G,$
Почему это у Вас индексные множества одинаковые для всех атласов? Это, конечно, можно сделать, но может быть неудобно.

Dmitry Tkachenko в сообщении #1067011 писал(а):
Рассмотрим экстремальное покрытие
Минимальное, что ли? То есть, такое, что при выкидывании любого элемента остаётся семейство, которое покрытием не является?

Во-первых, такого покрытия может не существовать (пример — покрытие интервала $(-2,2)\subset\mathbb R$ семейством интервалов $\{(-2+1/n,2-1/n):n\in\mathbb N_+\}$).
Во-вторых, не следует загромождать доказательство ненужными условиями.

Dmitry Tkachenko в сообщении #1067123 писал(а):
Сейчас не понимаю, почему в пункте 3) после первого пополнения атлас $\mathscr{B}$ останется $\mathcal{C}^r$ атласом, то есть все карты будут согласованными.
Э-э-э… А в чём проблема? Если $(U,\varphi,E)$ — карта, $V\subset U$ — такое подмножество, что $\varphi U$ открыто в $E$, то $(V,\varphi|_V,E)$ — тоже карта, и присоединение её к атласу не меняет гладкости атласа.

P.S. Извините, у меня сейчас нет времени для дальнейшей писанины. Может быть, попозже ещё напишу, или кто-нибудь другой напишет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group