Пустой прообраз

[maximk]

Пусть задано произвольное отображение множеств $f: X \to Y$. Пусть как прообраз элемента $a$, так и прообраз элемента $b$, отличного от $a$, есть пустое множество. Означает ли это, что образ пустого множества может иметь сколь угодно много значений? Здесь я чего-то недопонимаю.

[AlexDem]

Определение отображения, по-мойму.

[Anton_Peplov]

Давайте с самого начала.
Есть понятие образа элемента $f(a)$. Образ множества $A$ - это множество образов всех элементов $A$. Что же образ пустого множества?

[Munin]

maximk
Ну-ка, а как соотносятся понятия прообраза и образа?

[maximk]

Ну допустим, что мощность $X$ меньше мощности $Y$, в $Y$ могут быть элементы, прообраз которых есть пустое множество? Очевидно, могут быть. Собственно вот и возник вопрос.
А, образ пустого множества есть пустое множество, верно? Или он определяется отображением? Главный вопрос в том, как согласуются образы прообразов различных элементов, являющихся пустым множеством.

[AlexDem]

Отображение - это множество пар элементов $X$ и $Y$, <...>. Пустое множество пары не составляет. У отображения есть область определения и область допустимых значений.

[maximk]

Если не существует элемента, отличного от пустого множества, образ которого есть элемент $a$, то, значит, прообраз $a$ есть пустое множество.
Загляните к примеру в книгу основ алгебры Кострикина (в начальных параграфах есть информация об отображениях).

[Munin]

Вам надо не учить других куда-то заглядывать, а самому ответить на заданные вам наводящие вопросы.

[Slav-27]

maximk
Пусть есть отображение $X\rightarrow Y$: вы, судя по всему, называете прообразом элемента $y$ из $Y$ множество всех элементов из $X$, которые переходят в $y$. (Обычно прообразом $x$ называют каждый из этих элементов.)

Теперь поймите, что именно вы называете образом и что "значением образа", и всё станет ясно. (Сочетание "значение образа" употреблять не принято.)

[Munin]

Slav-27 в сообщении #1067478 писал(а):

Пусть есть отображение $X\rightarrow Y$: вы, судя по всему, называете прообразом элемента $y$ из $Y$ множество всех элементов из $X$, которые переходят в $y$. (Обычно прообразом $x$ называют каждый из этих элементов.)

Скорее всего, он неаккуратно пользуется понятиями "прообраз множества" (в том числе для $\{y\}$) и "образ множества". Понять его можно (хотя аккуратности ему стоило бы поучиться, это то, чем можно пренебрегать только после достижения профессионализма).

[Anton_Peplov]

Ответьте-ка, maximk, на вопрос. Пусть $A$ - прообраз $B$ и $C$ - образ $A$.
Есть два утверждения: "$B \subset C$" и "$C \subset B$".
Выберите верный вариант ответа:
1)оба утверждения всегда верны
2)первое утверждение всегда верно, а второе может быть неверным
3)второе утверждение всегда верно, а первое может быть неверным
4)оба утверждения могут быть неверны.

[maximk]

Anton_Peplov, существует функция $f$ такая, что $f(A) \subset B$, существует функция $g$ такая, что $g(A) \subset C$.
Вариант ответа 4).
Slav-27, да, каждый из элементов. Я так и не понял, к чему вы это написали. Всё это понятно, но это никак не приближает к ответу на вопрос об образе (или значении образа) пустого множества. Скажем, если $f^{-1}(a)=f^{-1}(b)=\varnothing$, то $f(\varnothing) \supset \left\lbrace{a, b}\right\rbrace$? Если да, то начинаю понимать.

[Anton_Peplov]

maximk
имелась в виду одна и та же функция. $A = f^{-1}(B)$ и $C = f(A)$. Выберете теперь вариант ответа.

[Slav-27]

maximk
Я же вам сказал: напишите точно, что вы называете образом и что значением образа. Я имею в виду: напишите определения этих понятий. Это необходимо, потому что ваша терминология неортодоксальна.

В общепринятой терминологии вопрос из стартового поста бессмыслен.

[maximk]

Образ - множество $f(X) = \operatorname{Im} f= \left\lbrace f(x) | x \in X \right\rbrace$ $\subset$ $Y$.
Под значением образа понимаю элемент образа.