Пустой прообраз

[provincialka]

Anton_Peplov в сообщении #1068432 писал(а):

свойства множества часто вводят через свойства его элементов. И для множества, в котором элементов нет, возникают трудности.

Anton_Peplov в сообщении #1068432 писал(а):

Вопрос, способный вынести мозг студенту, которому не сказали, что замкнутое множество на самом деле определяется как дополнение открытого, а все пространство-носитель по определению открыто.

Ну, в этом частном случае вы "обойдете" возможную пустоту множества... Но она же будет возникать снова в самых разных задачах... Да хоть в теореме Виета (на вещественной прямой). Вот, в уравнении $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $-p$. А если корней (вещественных) нет? Теорема перестает быть верной?
Да мало ли таких теорем. Думаю, лучше принять соглашение, что для элементов пустого множества выполняются сразу все свойства (в том числе и прямо противоположные).

[Dmitry Tkachenko]

provincialka в сообщении #1068601 писал(а):

Думаю, лучше принять соглашение, что для элементов пустого множества выполняются сразу все свойства (в том числе и прямо противоположные).

Почему не лучше считать, что пустое множество не содержит элементов? А если есть пространство $X,$ то $\varnothing$ и $X$ открыты и замкнуты в $X.$

[provincialka]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1068602 писал(а):

Почему не лучше считать, что пустое множество не содержит элементов?

А что, кто-то сказал, что содержит?

-- 31.10.2015, 02:44 --

Вот простое высказывание. Предположим, был выпущен приказ: "Победители международной математической олимпиады должны приниматься на мехмат любого вуза России без экзаменов".

То есть "каждый победитель ММО, подавший документы на поступление на мехмат города N должен быть принят в этот вуз"
А на мехмат городка N ни один победитель ММО документы не подал... Что ж, этот вуз нарушил приказ? Нет, конечно... Множество "победителей ММО, подавших документы на поступление на мехмат города N" просто пусто. И каждый (несуществующий) "элемент" этого множества принят на мехмат. Но, конечно, и не принят тоже.

[whitefox]

provincialka в сообщении #1068601 писал(а):

Думаю, лучше принять соглашение, что для элементов пустого множества выполняются сразу все свойства (в том числе и прямо противоположные).

Так и будет если "свойство" понимать в экстенсиональном смысле, то есть как подмножество некоторого универсума.

[Anton_Peplov]

grizzly
А вот П. Кон в книжке "Универсальная алгебра" определяет $f: X \to Y$ как подмножество декартова произведения $X \times Y$ такое, что каждый $x$ входит в какую-нибудь пару, и нет двух $y$, отвечающих одному и тому же $x$ (эта штука в терминологии других людей называется не функцией, а графиком функции). Так что в этой терминологии Ваши $f(x)$ и $g(x)$ - действительно одна и та же функция.
В общем, общепринятой терминологии тут нет, это дело вкуса, и спорить об этом - все равно что спорить, называть ли конечные множества счетными. Кто-то говорит так, а кто-то иначе. Главное понимать себя и друг друга.

[whitefox]

Anton_Peplov в сообщении #1068619 писал(а):

А вот П. Кон в книжке "Универсальная алгебра" определяет . . . эта штука в терминологии других людей называется не функцией, а графиком функции

Вы пишите так как будто Кон единственный такой оригинал, отождествляющий функцию с её графиком. Сошлюсь на англовики:

Википедия писал(а):

In the modern foundation of mathematics known as set theory, a function and its graph are essentially the same thing.

Да и не Кон автор этого определения.

В свете сказанного, скорее оригинальным выглядит определение Бурбаки функции $f\colon X\to Y$ как упорядоченной тройки $\langle X,Y,R\rangle,$ где $R$ график функции $f.$ Впрочем, лично мне оно импонирует больше (видимо в силу моей природной занудности ).

[Anton_Peplov]

А я не говорил, что единственный, и не говорил, что автор.

[whitefox]

Зато я написал "как будто".

[tolstopuz]

Anton_Peplov в сообщении #1068619 писал(а):

А вот П. Кон в книжке "Универсальная алгебра" определяет $f: X \to Y$ как подмножество декартова произведения $X \times Y$ такое, что каждый $x$ входит в какую-нибудь пару, и нет двух $y$, отвечающих одному и тому же $x$ (эта штука в терминологии других людей называется не функцией, а графиком функции). Так что в этой терминологии Ваши $f(x)$ и $g(x)$ - действительно одна и та же функция.

А через несколько страниц определяет "отображение" как упорядоченную тройку. В результате сюръективность определена для отображений, но не для функций.

whitefox в сообщении #1068627 писал(а):

Вы пишите так как будто Кон единственный такой оригинал, отождествляющий функцию с её графиком. Сошлюсь на англовики:

Википедия писал(а):

In the modern foundation of mathematics known as set theory, a function and its graph are essentially the same thing.

На это место лучше не ссылаться - слово "essential" означает с точки зрения данной дискуссии нечто совершенно противоположное. Там стоит ссылка на книгу Pinter, A Book Of Set Theory, в которой написано так:

Цитата:

Since a function and its graph are essentially one and the same thing...

а на следующей странице так:

Цитата:

We begin by giving our "official" definition of a function.
2.1 Definition A function from $A$ to $B$ is a triple of objects $<f,A,B>$...

Я не буду утверждать, что Кон в одиночестве. Например, Jech тоже не включает домен и кодомен в определение функции, но за это ему приходится расплачиваться тем, что кодомен вылезает наружу: у него нет понятия "сюръективная функция", вместо него "сюръективная функция на $B$".

Так что людям доброй воли, желающим вслед за Бурбаками свободно употреблять выражение "сюръективная функция", с этими маргиналами не по пути.

[Munin]

provincialka в сообщении #1068601 писал(а):

Ну, в этом частном случае вы "обойдете" возможную пустоту множества... Но она же будет возникать снова в самых разных задачах... Да хоть в теореме Виета (на вещественной прямой). Вот, в уравнении $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $-p$. А если корней (вещественных) нет? Теорема перестает быть верной?
Да мало ли таких теорем. Думаю, лучше принять соглашение, что для элементов пустого множества выполняются сразу все свойства (в том числе и прямо противоположные).

Не самый удачный пример. Возьмём кубическое уравнение. В нём может быть один вещественный корень, а коэффициент при $x^2$ будет равен не ему, а сумме всех трёх комплексных корней (со знаком минус). Тут лучше не с пустыми множествами играть, а изучить полную версию теоремы в комплексном случае. Хотя в других случаях, конечно, вы правы: удобно и пустое множество включать в список обычных множеств, присваивая им сразу все возможные свойства, и нулевой вектор считать одновременно коллинеарным и нормальным к чему угодно, и т. п.

[provincialka]

Согласна, недодумала... Корни-то есть, хотя и не вещественные...
Но идея, надеюсь, понятна... Если не допускать, что описываемое множество может быть (в каких-то частных случаях) пустым, придется теоремы увешивать кучей оговорок...

Да хоть такая теорема: "Если в каждой точке интервала производная функции положительна, то функция возрастает". Разве надо здесь упоминать, что такой интервал для исследуемой функции существует? Может и не существовать. На нет и суда нет.