Пустой прообраз

[grizzly]

(ошибочные рассуждения)

Anton_Peplov в сообщении #1068237 писал(а):

Ага, определения он смотреть не хочет.

Согласен, ТС слишком часто кричал: "Волк! Волк!". Но вот у меня тоже есть желание понимать этот вопрос чуть получше. Я задавался этим раньше на форуме и, надеюсь, чуть продвинулся с тех пор в своём понимании. Рискну рассказать коротко своё -- вдруг в чём-то может помочь ТС (если я понимаю верно) и надеюсь, что профессиональные математики поправят или дополнят меня там, где я ошибаюсь.

Моя попытка (ниже я во избежание путаницы привожу английские аналоги терминов, которые могут иметь различные трактовки).
В классической традиции понятие функции определяется таким образом, что элементы, входящие в область значений функции (англ. codomain) и не имеющие прообраза, никак не влияют на саму функцию -- для определения функции важны только область определения функции и множество значений (англ. image).
Например, следующие обозначения для функций $f$ и $g$:

$$ f(x)=x^2+1 \colon \mathbb R \to \mathbb R \quad \text{и} \quad g(x)=x^2+1 \colon \mathbb R \to \mathbb R_+ $$

определяют одну и ту же функцию.

Чушь удалена.

[provincialka]

Вспомнился анекдот:

Цитата:

-- Ты что делал в воскресенье?
-- Ловил карасей.
-- И много поймал?
-- Ни одного.
-- Так откуда же ты знаешь, что ловил именно карасей?

Действительно, можно рассматривать функции с разной областью значений как разные (в анекдоте это функция "Улов рыбака" с codomain "рыба озера НН"). Но ответ на исходный вопрос от этого не зависит, конечно, ведь образ берется только из image. То есть в любом случае жарить-то незадачливому рыбаку нечего

Впрочем, в языке программирования отсутствующие значения могут различаться, например, по типу. То есть NA целого типа не то же, что NA булевского.

[grizzly]

Спасибо, анекдот понравился -- побольше бы таких объяснений :)

provincialka в сообщении #1068396 писал(а):

Но ответ на исходный вопрос от этого не зависит, конечно, ведь образ берется только из image.

Да, я специально выделил, что понимаю это (хотя раньше тоже где-то глупо оговорился). Не то чтоб я хотел перехватить тему -- мне моё рассуждение показалось близким к вопросу и потенциально полезным, а ТС, похоже, не собирается возвращаться.

Del.

[Anton_Peplov]

grizzly в сообщении #1068395 писал(а):

В классической традиции понятие функции определяется таким образом, что элементы, входящие в область значений функции (англ. codomain) и не имеющие прообраза, никак не влияют на саму функцию -- для определения функции важны только область определения функции и множество значений (англ. image).
Например, следующие обозначения для функций $f$ и $g$:

$$ f(x)=x^2+1 \colon \mathbb R \to \mathbb R \quad \text{и} \quad g(x)=x^2+1 \colon \mathbb R \to \mathbb R_+ $$

определяют одну и ту же функцию.

Я не знаю, что такое классическая традиция, но в тех учебниках, по которым учился я (Колмогоров-Фомин, Виро и К.) это не так. Функции $f(x)$ и $g(x)$ - разные, ибо одна из них сюръективна, а вторая - нет.

[iifat]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1068396 писал(а):

Вспомнился анекдот

Ой, вот спасибо! Только было задался вопросом, почему пустое множество настолько чаще обсуждается, нежели любое другое — а вот уж и ответ готов! Действительно, улов в нуль карасей совершенно идентичен улову в нуль, скажем, динозавров. В отличие от улова в одного карася, не оставляющего места для фантазии.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1068416 писал(а):

Функции $f(x)$ и $g(x)$ - разные, ибо одна из них сюръективна...

Это какая же? :)
Впрочем, суть замечания понятна -- про сюръекции нам тоже, конечно, рассказывали. Значит, я что-то не то себе навооброжал.

[Anton_Peplov]

grizzly в сообщении #1068418 писал(а):

Это какая же? :)

Ну да, никакая. Чтобы сделать сюръекцию, надо областью значения выбрать $[1, \infty)$. Но Вы же поняли, что я хотел сказать.

[provincialka]

(to grizzly)

grizzly в сообщении #1068413 писал(а):

Да, я специально выделил, что понимаю это

Не сомневаюсь! Я для ТС написала (буде он появится)

(to iifat)

Чуть что -- обращайтесь! У меня анекдотов (с логическим подтекстом) много, я одно время их специально собирала

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1068417 писал(а):

Только было задался вопросом, почему пустое множество настолько чаще обсуждается, нежели любое другое — а вот уж и ответ готов!

Тут дело, по моему скромному, не в карасях, а в том, что свойства множества часто вводят через свойства его элементов. И для множества, в котором элементов нет, возникают трудности. К примеру, когда студентам дают топологические понятия только на примере метрических пространств, часто говорят, что замкнутое множество - это множество, содержащее все свои предельные точки. Замкнуто ли, по этому определению, пустое множество? Содержит ли оно точки, которых нет? Вопрос, способный вынести мозг студенту, которому не сказали, что замкнутое множество на самом деле определяется как дополнение открытого, а все пространство-носитель по определению открыто.

[provincialka]

Anton_Peplov
А чего в оффтопе? Рассуждение полезное. Вот только как вы определите открытое множество? "Открытое множество -- такое, что каждая его точка входит в него с некоторой окрестностью". Возникает аналогичный вопрос: открыто ли пустое множество?

[Anton_Peplov]

Именно. Поэтому открытые и замкнутые множества надо определять так, как это делается в общей топологии. Возьмем систему $\Sigma$ подмножеств множества $X$, обладающую следующими свойствами:
1. $\varnothing, X \in \Sigma$.
2. Объединение всех элементов любого подмножества $\Sigma$ само принадлежит $\Sigma$.
3. Пересечение всех элементов любого конечного подмножества $\Sigma$ само принадлежит $\Sigma$.
Элементы $\Sigma$ назовем открытыми множествами, а дополнения открытых - замкнутыми.
А потом надо ввести понятие базы топологии и доказать, что открытые шары образуют в метрическом пространстве такую базу. Материала на страницу учебника, а ясности в голове гораздо больше.

[provincialka]

Уже упоминала в одной теме задачу:

provincialka в сообщении #785984 писал(а):

6. Какие из перечисленных объектов можно считать множествами: студенты вашей группы; красивые девушки; динозавры в нашем зоопарке.

Первокурсники (особенно не-математики) говорят, что множествами являются студенты и девушки, а динозавры -- нет (ведь их не существует)! Это обыденный взгляд на пустое множество.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1068426 писал(а):

Но Вы же поняли, что я хотел сказать.

Конечно. И я действительно был неправ в своих рассуждениях. Решил завернуть их в тег ошибки, чтоб не удалять целиком из последующего полилога (совсем не нужные глупости удалил).

Я теперь не могу найти, где прочитал то, что сбило меня с толку с этими codomain. Зато нашёл вот цитату, в которой как-то объясняется, как это можно понимать. А то обычные определения с упорядоченными парам или графиками этого понимания не дают. Насчёт аналогий с пустой функцией -- это всё было мимо.

англовики про альтернативы определения функций писал(а):

If a function is defined as a set of ordered pairs with no specific codomain, then $f:X\to Y$ indicates that $f$ is a function whose domain is $X$ and whose image is a subset of $Y$. This is the case in the ISO standard. $Y$ may be referred to as the codomain but then any set including the image of $f$ is a valid codomain of $f$. This is also referred to by saying that "$f$ maps $X$ into $Y$". In some usages $X$ and $Y$ may subset the ordered pairs, e.g. the function $f$ on the real numbers such that $y=x^2$ when used as in $f:[0,4]\to [0,4]$ means the function defined only on the interval $[0,2]$.

[Anton_Peplov]

В вики (даже англовики) по поводу тонкостей терминологии вообще лучше не обращаться.

[iifat]

Anton_Peplov в сообщении #1068432 писал(а):

Замкнуто ли, по этому определению, пустое множество?

Я, наверное, в душе бюрократ. Если написать вместо словесных определений формулы, всё становится очевидным.