ДУ в полных дифференциалах

[Aiyyaa]

Подскажите пожалуйста как решить уравнение в полных дифференциалах
$x(x^2-y^2+1)dx+y(x^2-y^2)dy=0$.
В этом уравнении $M(x,y)=x(x^2-y^2+1)$, $N(x,y)=y(x^2-y^2)$,
частные производные $\frac{\partial M}{\partial y}=-2xy$, $\frac {\partial N}{\partial x}=2xy$, то есть частные производные не равны
поэтому нужно искать интегрирующий множитель, то есть либо
$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac {\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{-2xy-2xy}{y(x^2-y^2)}=\frac{-4x}{x^2-y^2}$, но отсюда нельзя выразить функцию, зависящую только от $x$, либо
$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac {\partial N}{\partial x}}{-M}=\frac{-2xy-2xy}{-x(x^2-y^2+1)}=\frac{4y}{(x^2-y^2+1)}$, из которого тоже нельзя выразить функцию, зависящую от $y$. Объясните как решить такое уравнение.

[GAA]

Внесите $x$ и $y$ под знаки соответствующих дифференциалов. И рассматривайте после замены $u=x^2$, $v=y^2$ уравнение, сводящееся к однородному.

-- Сб 24.10.2015 23:01:02 --

На самом деле окажется, что это «особый случай»: уравнение сводится не к однородному, а к уравнению с разделяющимися переменными. (Это я на тот случай, если Вы тему однородные не помните, а сразу увидите сводимость к уравнению с разделяющимися переменными.)

[Ms-dos4]

GAA подсказал самый простой способ. Но покажу для интереса и нахождение интегрирующего множителя. Записывая уравнение на него и вводя $\[\frac{{\partial \mu }}{{\partial y}} = \frac{{d\mu }}{{d\omega }} \cdot \frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}\]$ и $\[\frac{{\partial \mu }}{{\partial x}} = \frac{{d\mu }}{{d\omega }} \cdot \frac{{\partial \omega }}{{\partial x}}\]$ имеем
$\[\frac{{4xy}}{{\frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}x({x^2} - {y^2} + 1) - \frac{{\partial \omega }}{{\partial x}}y({x^2} - {y^2})}}d\omega = \frac{{d\mu }}{\mu }\]$
Вынесем 1 из под скобки
$\[\frac{{4xy}}{{\frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}x({x^2} - {y^2}) - \frac{{\partial \omega }}{{\partial x}}y({x^2} - {y^2}) + \frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}x}}d\omega = \frac{{d\mu }}{\mu }\]$
Тут видно, что хорошо бы, если бы $\[\frac{{\partial \omega }}{{\partial y}} = y;\frac{{\partial \omega }}{{\partial x}} = x\]$, т.е. $\[\omega = \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{2}\]$. И действительно, тогда имеем
$\[\frac{{d\mu }}{\mu } = 4d\omega \]$
Значит интегрирующий множитель $\[\mu = {e^{2({x^2} + {y^2})}}\]$
(однако тут он мало чем поможет, т.к. по видимому, предстоящие интегрирования в элементарных функциях не провести).

[iancaple]

Ms-dos4 в сообщении #1066410 писал(а):

по видимому, предстоящие интегрирования в элементарных функциях не провести.

Проинтегрируется, т.к. общий интеграл, получаемый способом GAA, мы знаем

$$Ce^{-2(x^2+y^2)}=...$$

(справа многочлен от $x,y$, не буду подсказывать весь ответ)

[Ms-dos4]

iancaple
Да, согласен, в интегралы $\[\int\limits_0^y {y({x^2} - {y^2}){e^{2({x^2} + {y^2})}}dy} \]$ и $\[\int\limits_0^x {x({x^2} + 1){e^{2{x^2}}}dx} \]$ ведь берутся в элементарных (я почему-то в уме не приметил, что там везде перед экспонентами нечётные степени).