2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ДУ в полных дифференциалах
Сообщение24.10.2015, 22:12 


14/04/15
187
Подскажите пожалуйста как решить уравнение в полных дифференциалах
$x(x^2-y^2+1)dx+y(x^2-y^2)dy=0$.
В этом уравнении $M(x,y)=x(x^2-y^2+1)$, $N(x,y)=y(x^2-y^2)$,
частные производные $\frac{\partial M}{\partial y}=-2xy$, $\frac {\partial N}{\partial x}=2xy$, то есть частные производные не равны
поэтому нужно искать интегрирующий множитель, то есть либо
$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac {\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{-2xy-2xy}{y(x^2-y^2)}=\frac{-4x}{x^2-y^2}$, но отсюда нельзя выразить функцию, зависящую только от $x$, либо
$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac {\partial N}{\partial x}}{-M}=\frac{-2xy-2xy}{-x(x^2-y^2+1)}=\frac{4y}{(x^2-y^2+1)}$, из которого тоже нельзя выразить функцию, зависящую от $y$. Объясните как решить такое уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ в полных дифференциалах
Сообщение24.10.2015, 23:48 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Внесите $x$ и $y$ под знаки соответствующих дифференциалов. И рассматривайте после замены $u=x^2$, $v=y^2$ уравнение, сводящееся к однородному.

-- Сб 24.10.2015 23:01:02 --

На самом деле окажется, что это «особый случай»: уравнение сводится не к однородному, а к уравнению с разделяющимися переменными. (Это я на тот случай, если Вы тему однородные не помните, а сразу увидите сводимость к уравнению с разделяющимися переменными.)

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ в полных дифференциалах
Сообщение25.10.2015, 04:59 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
GAA подсказал самый простой способ. Но покажу для интереса и нахождение интегрирующего множителя. Записывая уравнение на него и вводя $\[\frac{{\partial \mu }}{{\partial y}} = \frac{{d\mu }}{{d\omega }} \cdot \frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}\]$ и $\[\frac{{\partial \mu }}{{\partial x}} = \frac{{d\mu }}{{d\omega }} \cdot \frac{{\partial \omega }}{{\partial x}}\]$ имеем
$\[\frac{{4xy}}{{\frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}x({x^2} - {y^2} + 1) - \frac{{\partial \omega }}{{\partial x}}y({x^2} - {y^2})}}d\omega  = \frac{{d\mu }}{\mu }\]$
Вынесем 1 из под скобки
$\[\frac{{4xy}}{{\frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}x({x^2} - {y^2}) - \frac{{\partial \omega }}{{\partial x}}y({x^2} - {y^2}) + \frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}x}}d\omega  = \frac{{d\mu }}{\mu }\]$
Тут видно, что хорошо бы, если бы $\[\frac{{\partial \omega }}{{\partial y}} = y;\frac{{\partial \omega }}{{\partial x}} = x\]$, т.е. $\[\omega  = \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{2}\]$. И действительно, тогда имеем
$\[\frac{{d\mu }}{\mu } = 4d\omega \]$
Значит интегрирующий множитель $\[\mu  = {e^{2({x^2} + {y^2})}}\]$
(однако тут он мало чем поможет, т.к. по видимому, предстоящие интегрирования в элементарных функциях не провести).

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ в полных дифференциалах
Сообщение25.10.2015, 08:37 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Ms-dos4 в сообщении #1066410 писал(а):
по видимому, предстоящие интегрирования в элементарных функциях не провести.
Проинтегрируется, т.к. общий интеграл, получаемый способом GAA, мы знаем
$$Ce^{-2(x^2+y^2)}=...$$ (справа многочлен от $x,y$, не буду подсказывать весь ответ)

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ в полных дифференциалах
Сообщение25.10.2015, 09:11 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
iancaple
Да, согласен, в интегралы $\[\int\limits_0^y {y({x^2} - {y^2}){e^{2({x^2} + {y^2})}}dy} \]$ и $\[\int\limits_0^x {x({x^2} + 1){e^{2{x^2}}}dx} \]$ ведь берутся в элементарных (я почему-то в уме не приметил, что там везде перед экспонентами нечётные степени).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group