===========ММ206===============ММ206 (11 баллов)
Задача ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77
Каждое из
натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно
натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Замечание: Относительно скромное количество призовых баллов за эту задачу обусловлено тем, что при ее решении можно воспользоваться не только решением ММ77, но и результатами статьи, на которую есть ссылка в обсуждении.
РешениеПривожу решения Анатолия Казмерчука, Василия Дзюбенко и мое.
ОбсуждениеХотя Марафон не подвергался никаким санкциям, в середине 21-го тура он оказался в глубоком кризисе
Но ли я перестарался, то ли участники недостарались... Так или иначе, я получил всего два решения задачи ММ206.
Не исключаю, что кому-то просто не хватило времени. Конечно, времени было достаточно: задача была опубликована еще в мае, да и от разбора ММ205 ее отделяют 2 недели (а не традиционная неделя). Но, полагаю, многие участники по студенческой привычке приступают к решению исключительно в последний день.
Следующая задача (ММ207) является естественным продолжением ММ206. Само собой, этот факт наводит на мысль, не постигнет ее участь разбираемой задачи. Надеюсь, разбор ММ206 поможет участникам справиться с ММ207.
Теперь по сути задачи.
Обозначим через
наибольшее возможное количество последовательных натуральных чисел, имеющих в точности
делителей. Ясно, что для каждого конкретного
имеет конечное значение. В то же время, согласно гипотезе Эрдёша, для каждого натурального числа
, найдется
такое, что
.
Очевидно, что
для нечетных
.
Мне удалось найти точные значения
для 55 конкретных четных значений
(ранее
было известно только для
). Конкретные
и числа, с которых начинаются соответствующие последовательности, см.
здесь.Я практически уверен, что, если
- удвоенное простое, большее 3, то
(пункты 3 и 4 - частные случаи этого утверждения).
Еще одна правдоподобная гипотеза: если
кратно 4, но не кратно 3 (пункт 2), то
.
Высказанные предположения стали бы теоремами, если бы была доказана
гипотеза Бейтмана-Хорна или какой-либо из ее более слабых вариантов, например,
гипотеза Шинцеля H или
гипотеза Диксона.
Сложнее обстоит дело четными
, не кратными 4.
Если при этом
кратно 3, то можно получить оценку
. Однако, точное значение
известно только для двух конкретных значений
. Причем для этих
наибольшее возможное количество последовательных чисел, имеющих по
делителей, равно не 7, а 5 (пункт 1 и пункт 4 задачи ММ77).
Если
, где
- составное, не кратное 3, то справедлива оценка
. Однако я не знаю ни одного примера, для которого эта граница достигается. Более того, я не уверен в существовании таких примеров.
Мне удалось найти 13, а затем и 14 последовательных чисел, имеющих по 24 делителя.
Некоторые подробности этого поиска можно найти в авторском решении MM206
НаградыЗа решение задачи ММ206 Анатолий Казмерчук получает 12 призовых баллов, а Василий Дзюбенко - 7 призовых баллов.
Эстетическая оценка задачи - 5 баллов (То есть, оценившему ее Анатолию Казмерчуку задача понравилась
)