Интеграл от дифференциальной формы по области

[g______d]

Очевидно, что вопрос о том, можно ли решить данную задачу с помощью формулы Стокса сводится к вопросу о том, можно ли с помощью формулы Стокса посчитать интеграл

$$ \int\limits_{[0,1]^2}f(u,v)\,du\wedge dv. $$

Гладкость границы тут не страшна: во-первых, она кусочно гладкая, во-вторых, -- липшицева. Тот факт, что мы интегрируем по гиперболоиду, а не по квадрату, -- тоже не важен, область интегрирования -- это диффеоморфный образ квадрата.

Формальный ответ -- да, потому что область стягиваема, поэтому любая замкнутая форма является точной. Как найти первообразную? Ну, например, по формуле

$$ \left(\int\limits_0^u f(t,v)\,dt\right)\,dv. $$

Потом эту первообразную надо проинтегрировать по границе (очевидно, только по двум кускам из четырех).

Ну да, а на вопрос "чем это отличается от вычисления интеграла по области" ответом будет "ничем". Формула Стокса в данном случае будет просто формулой Ньютона-Лейбница по одному параметру для вычисления двумерного интеграла.

Правда, если ещё немного подумать, то можно понять, что формула Стокса в локальных координатах вообще всегда является формулой Ньютона-Лейбница с параметром.

[Munin]

g______d
Можно вас в связи с последним попросить заглянуть в post1063129.html#p1063129 ?

[мат-ламер]

g______d
В первом посту топикстартер имел в виду форму Стокса в размерности 2-3, т.е. формулу Остроградского-Гаусса. Её тоже можно применять, добавив к нашему объекту ещё пять граней. Нужно ли - вопрос отдельный. В последующем обсуждении размерность формулы Стокса была понижена.

[Munin]

мат-ламер
Занимаетесь чтением мыслей на расстоянии? А воду вскипятить по интернету можете? А то у меня чай стынет.

[Hasek]

мат-ламер в сообщении #1065196 писал(а):

Оно то верно. Только у меня сложилось впечатление, что Hasek испугался дифференциальных и форм и открыл старый учебник анализа (типа Фихтенгольца) и почитал там, как считать поверхностные интегралы. А между тем у него почти всё было готово в его втором посту. Hasek. Настоятельно рекомендую вернуться к интегралу в конце вашего второго поста и доделать там вычисления. Там почти всё сокращается, если вы разбираетесь в основных правилах обращения с дифференциальными формами (типа $dudu=0, dudv=-dvdu, d(uv)=udv+vdu$). Увидите, что у вас получится такой же интеграл, как и в вашем последнем посту.

мат-ламер, да, Вы абсолютно правы, всё так и было.

$$(du-dv)(duv+udv)=duduv-dvduv+ududv-udvdv=(u+v)dudv$$

$$(duv+udv)(du+dv)=duduv+udvdu+dudvv+udvdv=(v-u)dudv$$

$$(du+dv)(du-dv)=dudu+dvdu-dudv+dvdv=-2dudv$$

Всего лишь воспользовался свойствами внешнего дифференциала. Сейчас это стало понятно и просто, но сначала терялся и не понимал, что требуется делать.

[Red_Herring]

Если будете писать тест то приготовьтесь к пометке WTH? на полях около $dudu=0$. Знака ведж забывать не след