Интеграл от дифференциальной формы по области

[g______d]

Формула Стокса здесь, действительно, абсолютно ни при чем. Это задача на использование определения интеграла от диф. формы по многообразию (как вам пытался подсказать Red_Herring — фактически, 90% решения уже есть в теме). Локальными координатами являются $u$ и $v$.

Владение формулой Стокса (которое, кстати, тоже несколько под вопросом) не заменит вам знания определения интеграла.

[Munin]

g______d в сообщении #1064544 писал(а):

Формула Стокса здесь, действительно, абсолютно ни при чем.

Но это же не значит, что её применить нельзя...

[kp9r4d]

Строгого доказательства не знаю, но вполне очевидно, что тот гиперболоид не является краем никакого трёхмерного многообразия, вкладываемого в $\mathbb{R}^3$.

[Munin]

Вообще-то зато у области интегрирования есть граница...

[kp9r4d]

Форма $\Omega$ не является точной тупо потому, что она не замкнута, поэтому "в обратную сторону" тоже не получится.

[VanD]

kp9r4d в сообщении #1064593 писал(а):

Форма $\Omega$ не является точной тупо потому, что она не замкнута, поэтому "в обратную сторону" тоже не получится.

Форма, которая в конечном итоге интегрируется по многообразию, всегда замкнута в силу её степени. Чтобы говорить про обратную сторону, надо сначала ограничить форму на нужную область на поверхности.

А у ограничения ещё и носитель не компактный.

[Hasek]

$$\int\limits_{D}\Omega = \iint\limits_{D}(x^2(u,v)A + y^2(u,v)B + z^2(u,v)C)dudv,$$

где $A, B, C$ нахожу из $\{A,B,C\} = \begin{vmatrix} i & j & k\\ x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v\end{vmatrix}$, получается $A=u+v, B=v-u, C=-2$.
Тогда

$$\int\limits_{D}\Omega = \iint\limits_{D}((u+v)^3 - (u-v)^3 - 2(uv)^2)dudv = -\frac{8}{9}$$

[kp9r4d]

Вроде как верно.

[мат-ламер]

Оно то верно. Только у меня сложилось впечатление, что Hasek испугался дифференциальных и форм и открыл старый учебник анализа (типа Фихтенгольца) и почитал там, как считать поверхностные интегралы. А между тем у него почти всё было готово в его втором посту. Hasek. Настоятельно рекомендую вернуться к интегралу в конце вашего второго поста и доделать там вычисления. Там почти всё сокращается, если вы разбираетесь в основных правилах обращения с дифференциальными формами (типа $dudu=0, dudv=-dvdu, d(uv)=udv+vdu$). Увидите, что у вас получится такой же интеграл, как и в вашем последнем посту.

-- Ср окт 21, 2015 21:02:17 --

Munin в сообщении #1064542 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1064460 писал(а):

А с чего вы решили, что тут можно применять формулу Стокса? Поверхность себе хорошо представляете? Она у вас ограничивает какой-то объём?

Вы что-то хотели сказать?

[Munin]

мат-ламер
Уже нет. Я ошибся, g______d и kp9r4d мне помогли. Вы ни при чём.

[kp9r4d]

Munin
Да я тоже ошибся на самом деле, VanD меня поправил, та форма, конечно же, замкнута, будучи ограниченной на $M$.

[Munin]

То есть, застоксить её всё-таки можно?

[kp9r4d]

Я не очень понял, что имел в виду VanD (по мне так $\Omega$ на нашей поверхности вполне себе compactly supported), но я на этот вопрос ответа не знаю. И, насколько я понимаю (а я ничего не понимаю) когомологии де Рама со всей этой зубодробительной гомологической алгеброй как раз и нужны, по сути, чтобы на такие вопросы отвечать.

[VanD]

Ну я про носитель в области $D$ из

Hasek в сообщении #1064168 писал(а):

$D=\{-1<u<1,-1<v<1\}$ на поверхности $x=u+v, ~y=u-v, ~z=uv$

- носитель в ней не компакт (иначе интеграл по теореме Стокса был бы $0$, раз край $D$ пуст, вторые когомологии $D$ тривиальны).

Впрочем, Вы, наверно, говорили про интеграл по замыканию образа $D$, тогда всё в порядке.

[VanD]

А хотя, тут край не регулярный у замыкания образа. А если выкинуть его сингулярные точки, то носитель ограничения формы перестаёт быть компактом. Поправьте, если я не прав, но тут теорема Стокса не применима, если я правильно понимаю.