Интеграл от дифференциальной формы по области

[Hasek]

Здравствуйте! Забыл, как следует обращаться с поверхностными и криволинейными интегралами, и не осилил вроде бы типовой пример.

Задание такое:
Вычислить интеграл от формы $\Omega = x^2dy\wedge dz + y^2dz\wedge dx + z^2dx\wedge dy$ по области $D=\{-1<u<1,-1<v<1\}$ на поверхности $x=u+v, ~y=u-v, ~z=uv$.

Что получилось:
Согласно теореме Стокса $\int_{D} d\Omega = \int_{\partial D} \Omega$, где $\partial D$ -- граница области $D$. Применяю:
\begin{multline*}\int_{D} d\Omega = \int_{\partial D} \Omega = \iiint_{\partial D}(2x+2y+2z)dxdydz =\\ 2\iiint_{\partial D}xdxdydz + 2\iiint_{\partial D}ydxdydz + 2\iiint_{\partial D}zdxdydz = x^2yz|_{\partial D} + xy^2z|_{\partial D} + xyz^2|_{\partial D}\end{multline*}
Последний переход сделал по аналогии с формулой Ньютона-Лейбница в одномерном случае, но не могу сообразить, как же сделать "подстановку по границе'' с учётом выражений для $x,y,z$ через $u,v$. Подскажите, пожалуйста, правильно ли я делал вообще и если да, то что дальше?

[Brukvalub]

Hasek в сообщении #1064168 писал(а):

Согласно теореме Стокса $\int_{D} d\Omega = \int_{\partial D} \Omega$, где $\partial D$ -- граница области $D$. Применяю:
\begin{multline*}\int_{D} d\Omega = \int_{\partial D} \Omega = \iiint_{\partial D}(2x+2y+2z)dxdydz =\\ 2\iiint_{\partial D}xdxdydz + 2\iiint_{\partial D}ydxdydz + 2\iiint_{\partial D}zdxdydz = x^2yz|_{\partial D} + xy^2z|_{\partial D} + xyz^2|_{\partial D}\end{multline*}

Нелепая идея - дифференцировать все подряд...

[Red_Herring]

А почему бы не выразить всё сразу через u,v и взять интеграл по области (и в любом случае не уазана ориентация, но мы понимаем так, что $\int du\wedge dv$ по нашей области положителен, что ориентацию и задаёт

[Hasek]

Brukvalub, да, я действительно перепутал всё, что только можно. Правильно должно быть $\int_{D}\Omega = \iiint_{D'} (2x+2y+2z)dxdydz$, но я не понимаю, что это за область $D'$, границей которой является исходная $D$, и как непосредственно вычислять такой интеграл?

Red_Herring, учитывая приведённые соотношения, получаем для дифференциалов $dx=du+dv, ~dy=du-dv, ~dz=du v + u dv$, и после подстановки в интеграл:

$$\int_{D}\Omega = \iint_{D}(u+v)^2(du-dv)(du v + u dv) + \iint_{D}(u-v)^2(du v + u dv)(du+dv) + \iint_{D}(uv)^2(du+dv)(du-dv)$$

Если я правильно понимаю, какие-то удручающие упражнения на раскрывание скобок и приведение подобных слагаемых предстоят на этом пути решения...

[Munin]

Исходная область у вас двумерная. Как же это у вас получилось, что её граница - трёхмерная?

[kp9r4d]

Чего-то всё спутанно совершенно. Интеграл от диф.формы берётся по поверхностям, а не по их картам, это во-первых, во-вторых, чего в самом начале берётся интеграл по $d \Omega$, если в задании написано брать по $\Omega$? Интеграл по $d \Omega$ (где $\Omega$ - конкретное из задания) по любой двумерной поверхности очевидно чему равен и без всяких сложных подсчётов.

[Red_Herring]

Hasek в сообщении #1064200 писал(а):

Если я правильно понимаю, какие-то удручающие упражнения на раскрывание скобок и приведение подобных слагаемых предстоят на этом пути решения...

Особенно если учесть, что "веджи" у Вас испарились.

[Munin]

kp9r4d в сообщении #1064255 писал(а):

Интеграл от диф.формы берётся по поверхностям, а не по их картам, это во-первых

А меняется ли интеграл от замены переменных?

[kp9r4d]

Munin
Почти что нет, в этом-то вся и суть. При замене переменных может поменяться только знак, поэтому нужно следить, чтобы новые координаты были согласованы с выбранной ориентацией (тогда не меняется вообще), но в данном случае ориентация не выбрана, поэтому вообще хорошо.

[Hasek]

Вот так правильно?
$\int\limits_{D}\Omega = \iiint\limits_{\substack{-2<x<2\\ -2<y<2\\ -1<z<1}}(2x+2y+2z)dxdydz = \ldots = 0$

[kp9r4d]

Каким образом получено первое равенство?

[Hasek]

kp9r4d в сообщении #1064442 писал(а):

Каким образом получено первое равенство?

Пытаюсь применить формулу Стокса. Для этого надо продифференцировать саму форму и брать интеграл теперь уже по области, границей которой являлась исходная двумерная $D$. Это, насколько понимаю, трёхмерная $(x,y,z)$, координаты которой меняются не более чем позволяют их выражения через $u$ и $v$, где $-1<u<1$ и $-1<v<1$. Или я напутал с пределами интегрирования всё-таки?

[мат-ламер]

Hasek в сообщении #1064168 писал(а):

Согласно теореме Стокса

А с чего вы решили, что тут можно применять формулу Стокса? Поверхность себе хорошо представляете? Она у вас ограничивает какой-то объём?

-- Пн окт 19, 2015 21:13:18 --

Hasek
Поверхность эта будет седлом (гиперболоидом). Причём снизу и с боков ничем не ограниченным.

[kp9r4d]

Hasek
Нарисуйте в вольфраме два параметрических графика: поверхность из условия и ваше тело - которое вы построили пытаясь применить теорему Стокса и посмотрите, является ли первая краем второй хотя бы "на глаз". Это упражнение не на теорему Стокса, а просто тупо "а напишите-ка определение символа $\int_M \Omega$", никаких сложных рассчётов, помимо интегрирования мономов там нету и в помине.

-- 19.10.2015, 20:52 --

(Можно даже не рисовать в вольфраме, а просто прикинуть, что ваша $-2<x<2, -2<y<2, -1<z<1$ - это куб (параллелепипед), а разве та поверхность, что у вас в условии, является границей куба?)

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1064460 писал(а):

А с чего вы решили, что тут можно применять формулу Стокса? Поверхность себе хорошо представляете? Она у вас ограничивает какой-то объём?