Про кю: строго выпуклая (скажем) биекция Q на Q

[ewert]

Задачка, навеянная реакцией одного студента на доказательство теоремы Больцано-Коши. Реакция была такая: "а нафига это доказывать?... -- это ж очевидно!..."

Ну там через несколько ступенек бурного обсуждения возникла следующая подзадачка.

Ну хорошо, есть тривиальная биекция $\mathbb Q$ на $\mathbb Q$, осуществляемая линейной функцией. И даже не вполне линейной (ну хоть кусочно). А вот совсем нелинейной?...

Конкретнее: существует ли строго выпуклая (скажем) биекция $\mathbb Q$ на $\mathbb Q$?...

(Оффтоп)

(наверняка это бойан, но мне лень гуглить)

[Anton_Peplov]

Про выпуклые не буду, а вот про нелинейные скажу.

Ну, $y = \frac{1}{x}$ совсем нелинейная:)
Правда, что-то нужно допиливать с нулем. Скажем, ручками положить, что $y(0) = 0$.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1065253 писал(а):

Правда, что-то нужно допиливать с нулем.

Там глобальная выпуклость откровенно нарушится. Не в эту сторону следует думать.

[Evgenjy]

$y=x+x^2$ при $x\geqslant0$
$y=-\ln(1-x)$ при $x<0$

[provincialka]

Но ведь логарифм нарушает рациональность.

[ewert]

А квадратичность дырява.

[12d3]

Из элементарных функций походу только дробно-линейные подходят. Но срастить одно выпуклое отображение из нескольких дробно-линейных кусков не выходит.

[ewert]

Вообще-то выйдет: никто же не запрещает брать "несколько", равное бесконечности. Хотя я думал в другую сторону.

[provincialka]

Пока не думала, но может какой-то прием, связанный с несократимым представлением дроби?

[ewert]

Ну для затравки: возьмём сначала какое-нибудь строго выпуклое отображение $\mathbb Z\mapsto\mathbb Q$, уходящее на обе бесконечности; это легко...

[sartok]

Пусть функция $f$ определена в двух рациональных точках $x_1<x_2$, рациональна и (строго) возрастает. Тогда для любой точки $x_1<x<x_2$ её можно доопределить (строго) выпуклым образом с сохранением монотонности и рациональности. Для любого $f(x_1)<y<f(x_2)$ можно подобрать $x$ такой, что $x_1<x<x_2$ и положив $y=f(x)$, сохраним монотонность, выпуклость и рациональность.
Сперва зададим $f$ во всех целых точках, монотонно растущей, выпуклой и бесконечной на концах. Перенумеруем все рациональные числа. Будем перебирать все $x$-ы и $y$-и, чередуя их и доопределяя $f$ вышеуказанным образом, если встретилась ещё не имеющаяся точка графика. Получилась строго выпуклая биекция рациональных чисел.

[Deggial]

Название темы почти полностью изменено без согласия ТС

[sartok]

Для любой монотонной вещественной биекции существует сколь угодно близкая к ней рациональная биекция.
Вот понимание близости надо осмысливать.

[ewert]

sartok в сообщении #1065566 писал(а):

Вот понимание близости надо осмысливать.

Ох, лучше не надо: вряд ли что осмысленное осмыслится. А конструкция Ваша -- нормальная. Но и с кусочно дробно-линейными можно, так что не понимаю, куда исчез предыдущий оратор. Идея-то ведь у него была правильной, разве что изложена была легкомысленно.

[sartok]

Тоже жаль, что то сообщение исчезло

ewert в сообщении #1065573 писал(а):

с кусочно дробно-линейными можно, так что не понимаю, куда исчез предыдущий оратор. Идея-то ведь у него была правильной

Я попробовал составлять из кусков, но не смог. А полезно видеть сразу два разных решения, тут сумма всегда больше пары слагаемых. Если можно, наметьте другие решения.