Оценить функциональный ряд.

[kvendingoldo]

Здравствуйте. Есть ряд, который нужно оценить для дальнейших вычислений $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$.
Обычно оценивал с помощью банального метода : $\sum\limits_{n=a}^{b} f_n(x)\leq\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$, но тут как я понимаю такая фишка не прокатит. Пробовал приближать $ f_n $ с помощью всяких неравенств, но ничего особо путного не получается. Как еще можно оценить этот ряд?

[Brukvalub]

kvendingoldo в сообщении #1055507 писал(а):

Обычно оценивал с помощью банального метода : $\sum\limits_{n=a}^{b} f_n(x)\leq\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$, но тут как я понимаю такая фишка не прокатит.

"Такая фишка" нигде не прокатит, это не фишка, а абсурд.

[kvendingoldo]

Brukvalub в сообщении #1055510 писал(а):

kvendingoldo в сообщении #1055507 писал(а):

Обычно оценивал с помощью банального метода : $\sum\limits_{n=a}^{b} f_n(x)\leq\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$, но тут как я понимаю такая фишка не прокатит.

"Такая фишка" нигде не прокатит, это не фишка, а абсурд.

В случае когда $ b=\infty $ это позволяло найти $ N $ при котором $ f_n(x) \leq \varepsilon$.

[Otta]

Можно спросить, зачем понадобилось его оценивать, если его сумма хорошо известна?

[kvendingoldo]

Otta в сообщении #1055526 писал(а):

Можно спросить, зачем понадобилось его оценивать, если его сумма хорошо известна?

Не додумался заглянуть в вольфрам и проверить. К сожалению, ряд такого вида я встречаю впервые. С помощью чего его можно посчитать?

[Otta]

Ряды Тейлора никогда не изучали? для основных элементарных функций, в частности?

[kvendingoldo]

Otta в сообщении #1055533 писал(а):

Ряды Тейлора никогда не изучали? для основных элементарных функций, в частности?

Нет. В прошлом году их нам не прочитали, так как не хватило времени. Спасибо за наводку, пойду читать о них!

[kvendingoldo]

Немного оживлю тему, если модератор мне это разрешит.
А подскажите пожалуйста, как всё-таки оценить ряд такого вида , но с неизвестной нам суммой? ( допустим мы выкинем из нашего ряда каждый k-й член и ряд не будет сходиться к \cos(x)-1$.
Интересуют оценки любых видов, пускай и самых грубых.

-- 19.10.2015, 13:47 --

Мучился в таком духе(конечно же с помощью Ф.Стирлинга):

$(-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n}}{2n!} \sim (-1)^n \cdot \frac{(x\cdot e)^{2n}}{\sqrt{4\pi \cdot n} \cdot (2\cdot x)^{2n}} \leq \frac{(x\cdot e)^{2n}}{\sqrt{4\pi \cdot n} \cdot (2\cdot n)^{2n}} $

[kp9r4d]

Самые грубые - это всегда пожалуйста, сколько бы членов ряда не выкинуть, его сумма всегда $\leqslant e^{|x|}$.

-- 19.10.2015, 12:38 --

и даже $\leqslant \ch (|x|) - 1$.

[kvendingoldo]

kp9r4d в сообщении #1064352 писал(а):

Самые грубые - это всегда пожалуйста, сколько бы членов ряда не выкинуть, его сумма всегда $\leqslant e^{|x|}$.

-- 19.10.2015, 12:38 --

и даже $\leqslant \ch (|x|) - 1$.

А ну да, cлона-то я и не заметил :)

А как оценить остаток ряда? Мне бы вычислить, с какого $n$ остаток будет меньше $\varepsilon$.

-- 20.10.2015, 08:08 --

Вот так?

$ (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \leq \frac{x^{2n}}{(2n)!} \leq \varepsilon $. И отсюда уже вытаскивать $n$?... Или я опять чего-то не понимаю?

[ewert]

Найдите, начиная с какого номера (в зависимости от икса) общий член начинает убывать по $n$. После него погрешность оценивается сверху первым из отбрасываемым членом.

-- Вт окт 20, 2015 08:23:31 --

kvendingoldo в сообщении #1064612 писал(а):

И отсюда уже вытаскивать $n$?...

Что значит "вытаскивать"? Для теоретических целей, т.е. для исследования на сходимость, явный вид $N(\varepsilon,x)$ не нужен -- достаточно лишь знать о его существовании. Для приближённого же вычисления суммы, т.е. для составления программы, явный вид опять же не нужен, нужно лишь уметь надёжно контролировать момент перешагивания $n$ через $N(\varepsilon,x)$, а это делается тривиально.

[g______d]

Можно применить формулу Тейлора с интегральным остатком. Будет явное выражение для остатка в виде интеграла. Потом его можно оценивать.

[ewert]

g______d в сообщении #1064616 писал(а):

Можно применить формулу Тейлора с интегральным остатком.

Так нет никакого Тейлора, если есть только ряд:

kvendingoldo в сообщении #1064326 писал(а):

как всё-таки оценить ряд такого вида , но с неизвестной нам суммой?

[g______d]

ewert в сообщении #1064618 писал(а):

если есть только ряд:

У ТС ряд с более-менее известной суммой.

[kvendingoldo]

ewert в сообщении #1064614 писал(а):

Найдите, начиная с какого номера (в зависимости от икса) общий член начинает убывать по $n$. После него погрешность оценивается сверху первым из отбрасываемым членом.

-- Вт окт 20, 2015 08:23:31 --

kvendingoldo в сообщении #1064612 писал(а):

И отсюда уже вытаскивать $n$?...

Что значит "вытаскивать"? Для теоретических целей, т.е. для исследования на сходимость, явный вид $N(\varepsilon,x)$ не нужен -- достаточно лишь знать о его существовании. Для приближённого же вычисления суммы, т.е. для составления программы, явный вид опять же не нужен, нужно лишь уметь надёжно контролировать момент перешагивания $n$ через $N(\varepsilon,x)$, а это делается тривиально.

У меня как раз случай с написанием программы. Да , контролировать перешагивание через $\varepsilon$ - ерунда. Увы, препод требует два варианта - второй это именно найти универсальный $ N(\varepsilon,x)$ такой, что подсчет для определённого $x$ мы будем делать, пока $n \leq N(\varepsilon,x)$.

Вообще, вся суть моего задания - это сравнить два метода приближенных вычислений: один с помощью фиксированного $\varepsilon$, другой с помощью оценки этого самого $N(\varepsilon,x)$.

-- 20.10.2015, 19:04 --

g______d в сообщении #1064619 писал(а):

ewert в сообщении #1064618 писал(а):

если есть только ряд:

У ТС ряд с более-менее известной суммой.

Знание того, что сумма известна - запретили использовать. Аргументы были в духе : а вот возьмёт и попадётся какой-нибудь хитро закрученный ряд, сумму которого мы не будем знать и всё..


Какие еще можно применить подходы?