2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Оценить функциональный ряд.
Сообщение20.10.2015, 19:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
kvendingoldo в сообщении #1064759 писал(а):
Знание того, что сумма известна - запретили использовать.

И абсолютно правильно запретили: на всякий чих не наздравствуешься.

kvendingoldo в сообщении #1064759 писал(а):
Увы, препод требует два варианта - второй это именно найти универсальный $ N(\varepsilon,x)$

Так я ж ровно его и предлагал. Это для каждого икса -- наибольшее из двух чисел: номера, с которого возрастание сменяется убыванием (он считается вполне явно) и номера, для которого член ряда равен допустимой погрешности. Последнее точно выразить через иксы и эпсилоны, естественно, невозможно. Можно, конечно, придумать более-менее разумную оценку снизу через стирлингов и прочие танцы с бубнами; но если препод настаивает именно на этом -- то он явно забыл, что он по замыслу всё-таки программист.

Во всяком случае, предложить что-то существенно лучшее нельзя практически наверняка.

-- Вт окт 20, 2015 20:48:06 --

Нет, я немножко передумал. Найдём сперва первое число (границу возрастания/убывания). Завысим его в пару раз и грубо оценим потом остаток, подпирая факториал снизу просто геометрической прогрессией. Это получится уже вполне явно. И не так уж и грубо выйдет: необходимое к-во слагаемых вот как раз не более чем в пару раз и завысится.(Там есть нюанс, но с ним нетрудно справиться.)

Но всё равно это выглядит как некоторое извращение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценить функциональный ряд.
Сообщение20.10.2015, 19:57 


28/07/14
68
ewert в сообщении #1064778 писал(а):
kvendingoldo в сообщении #1064759 писал(а):
Знание того, что сумма известна - запретили использовать.

И абсолютно правильно запретили: на всякий чих не наздравствуешься.

kvendingoldo в сообщении #1064759 писал(а):
Увы, препод требует два варианта - второй это именно найти универсальный $ N(\varepsilon,x)$

Так я ж ровно его и предлагал. Это для каждого икса -- наибольшее из двух чисел: номера, с которого возрастание сменяется убыванием (он считается вполне явно) и номера, для которого член ряда равен допустимой погрешности. Последнее точно выразить через иксы и эпсилоны, естественно, невозможно. Можно, конечно, придумать более-менее разумную оценку снизу через стирлингов и прочие танцы с бубнами; но если препод настаивает именно на этом -- то он явно забыл, что он по замыслу всё-таки программист.

Во всяком случае, предложить что-то существенно лучшее нельзя практически наверняка.

-- Вт окт 20, 2015 20:48:06 --

Нет, я немножко передумал. Найдём сперва первое число (границу возрастания/убывания). Завысим его в пару раз и грубо оценим потом остаток, подпирая факториал снизу просто геометрической прогрессией. Это получится уже вполне явно. И не так уж и грубо выйдет: необходимое к-во слагаемых вот как раз не более чем в пару раз и завысится.(Там есть нюанс, но с ним нетрудно справиться.)

Но всё равно это выглядит как некоторое извращение.



Спасибо большое! Есть не получится - отпишусь.
И да, по замыслу мы делаем задачу не на технику программирования, как он говорил, а на мат.анализ. Это было единсвенное его напуствие :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценить функциональный ряд.
Сообщение21.10.2015, 07:52 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 !  kvendingoldo, замечание за избыточное цитирование. Освойте кнопку Изображение, а также кнопки BackSpace и Del для редактирования текста цитаты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценить функциональный ряд.
Сообщение25.10.2015, 13:59 


28/07/14
68
ewert в сообщении #1064778 писал(а):
Нет, я немножко передумал. Найдём сперва первое число (границу возрастания/убывания). Завысим его в пару раз и грубо оценим потом остаток, подпирая факториал снизу просто геометрической прогрессией. Это получится уже вполне явно. И не так уж и грубо выйдет: необходимое к-во слагаемых вот как раз не более чем в пару раз и завысится.(Там есть нюанс, но с ним нетрудно справиться.)


Не совсем понял, как искать первое число.

Вообще, сделал так:
$

\varepsilon_N(x) = \sum\limits_{n=N+1}^{\infty}  (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}  \leq \sum\limits_{n=N+1}^{\infty}   \frac{x^{2n}}{(2n)!} =\frac{x^{N}}{N!}(1+\frac{x^2}{(N+2)} + \frac{x^4}{(N+2)(N+4)}+\ldots) = \frac{x^{N}}{N!}(1 +\xi+\xi^2+\xi^3+\ldots)
$

где $ \xi = \frac{x}{N+2} \leq \frac{x}{2}$ и так далее.

А как дальше? Не пойму как собрать то, что в скобках в прогрессию? (ведь мы не знаем какая она будет, так как в ней есть иксы).


Почему так? Хочу организовать вычисления по схеме:
(Именно для этого последовательность кси я хочу свернуть в Q)

Код:
1. k=1; y := 1; A := x;
2. if Q*A < epsilon_N(x) then goto 4 else goto 3
3. y := y+A; k++; A := (  A*x ) / k, goto 2
4. out(y);

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценить функциональный ряд.
Сообщение25.10.2015, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
kvendingoldo в сообщении #1066532 писал(а):
А как дальше? Не пойму как собрать то, что в скобках в прогрессию? (ведь мы не знаем какая она будет, так как в ней есть иксы).

Так нужна априорная оценка на $x$, иначе ничего не выйдет. Ведь этот ряд не сходится равномерно на всей числовой оси! Например, можно ограничиться отрезком, на котором только и происходит вычисление.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценить функциональный ряд.
Сообщение25.10.2015, 16:27 


28/07/14
68
Brukvalub в сообщении #1066548 писал(а):
kvendingoldo в сообщении #1066532 писал(а):
А как дальше? Не пойму как собрать то, что в скобках в прогрессию? (ведь мы не знаем какая она будет, так как в ней есть иксы).

Так нужна априорная оценка на $x$, иначе ничего не выйдет. Ведь этот ряд не сходится равномерно на всей числовой оси! Например, можно ограничиться отрезком, на котором только и происходит вычисление.



Ну, отрезка для вычисления у меня два - $[-1,1], [-10,10]$. Ряд (вроде бы) на них сходится, значит последовательность кси будет убывающей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценить функциональный ряд.
Сообщение25.10.2015, 16:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Тогда заменяйте в вашей оценке остатка ряда переменную $x$ на максимально возможное на отрезке значение ее модуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценить функциональный ряд.
Сообщение27.10.2015, 00:16 


28/07/14
68
В общем уже близкое к итоговому решение :
$

\varepsilon_N(x) = \sum\limits_{n=N+1}^{\infty}  (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}  \leq \sum\limits_{n=N+1}^{\infty}   \frac{x^{2n}}{(2n)!} =\frac{x^{N}}{N!}(1+\frac{x^2}{(N+2)} + \frac{x^4}{(N+2)(N+4)}+\ldots) = \frac{x^{N}}{N!}(1 +\xi+\xi^2+\xi^3+\ldots)
$

Делать грубую оценку $ \xi = \frac{x}{N+2} \leq \frac{x}{2}$ препод запретил, поэтому я сделал так:

Пусть у нас промежуток вычислений - [-10,10], тогда введём $ x_{\max} = \max(x_i) = 10.
$

Преобразуем выражение в скобках $1+\frac{x_{\max}^2}{(N+2)} + \frac{x_{\max}^4}{(N+2)(N+4)}+\ldots$ с помощью геометрической прогрессии в $ \frac{1}{1-\frac{x_{\max}^2}{(N+\operatorname{const})}}$
Тогда : $\varepsilon_N(x) \leq \frac{1}{1-\frac{x_{\max}^2}{(N+\operatorname{const})}} \cdot \frac{x^{N}}{N!}$

Тогда вычисления будем проводить по предыдущей схеме :

Код:
1. k=1; y := 1; A := x;
2. if Q*A < epsilon_N(x) then goto 4 else goto 3
3. y := y+A; k++; A := (  A*x ) / k, goto 2
4. out(y);

где $Q= \frac{1}{1-\frac{x_{\max}^2}{(N+\operatorname{const})}}$

Будет ли моя схема верной? И как бы так подобрать $\operatorname{const} $?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценить функциональный ряд.
Сообщение27.10.2015, 09:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
kvendingoldo в сообщении #1067288 писал(а):
В общем уже близкое к итоговому решение :
$
\varepsilon_N(x) = \sum\limits_{n=N+1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \leq \sum\limits_{n=N+1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} =\frac{x^{N}}{N!}(1+\frac{x^2}{(N+2)} + \frac{x^4}{(N+2)(N+4)}+\ldots) = \frac{x^{N}}{N!}(1 +\xi+\xi^2+\xi^3+\ldots)
$

Многое неудачно. 1. Нужно оценивать сверху не само выражение величины ошибки вычисления, а его модуль.
2. Степень множителя, который вынесен за скобки, определена с шибкой.
Дальше не смотрел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценить функциональный ряд.
Сообщение28.10.2015, 00:29 


28/07/14
68
Brukvalub в сообщении #1067344 писал(а):

Многое неудачно. 1. Нужно оценивать сверху не само выражение величины ошибки вычисления, а его модуль.
2. Степень множителя, который вынесен за скобки, определена с шибкой.
Дальше не смотрел.


Реально налажал:

$|\varepsilon_N(x)| = |\sum\limits_{n=N+1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}|=|\sum\limits_{n=N+1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}| = |\frac{x^{2N+2}}{(2N+2)!}(1+\frac{x^2}{(2N+3)(2N+4)} + \frac{x^4}{(2N+3)(2N+4)(2N+5)}+\ldots)| = |\frac{x^{2N+2}}{(2N+2)!}(1 +\xi^2+\xi^4+\xi^6+\ldots)| = |\frac{x^{2N+2}}{(2N+2)!} \cdot Q |
$

где $Q= \frac{1}{1-\frac{x_{\max}^2}{2N+C}}$
Или опять не так? :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценить функциональный ряд.
Сообщение28.10.2015, 08:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Второй знак равенства нужно заменить неравенством, после неравенства модули не нужны, в конце неверно подсчитана сумма прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценить функциональный ряд.
Сообщение28.10.2015, 22:01 


28/07/14
68
Brukvalub в сообщении #1067681 писал(а):
Второй знак равенства нужно заменить неравенством, после неравенства модули не нужны, в конце неверно подсчитана сумма прогрессии.


Считал сумму так(хотя сам чувствую, что это не правильно) :
У нас же убывающая геометрическая прогрессия, тогда её сумма будет:$ S = \frac{b_1}{1-q}.$
А вот тут вот непонятные вещи происходят : если делить$ \frac{b_{n+1}}{b_n}$, то получаем : $q = \frac{x^2}{2N+c}$
А вот это самое что-то, что я обозначил через c - это же не очень известная штука. Или я принципиально не так считаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценить функциональный ряд.
Сообщение28.10.2015, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
В знаменателе каждой следующей дроби появляются ДВА новых множителя. При оценивании все эти множители заменяют наименьшим возможным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценить функциональный ряд.
Сообщение28.10.2015, 23:20 


28/07/14
68
Brukvalub в сообщении #1067844 писал(а):
В знаменателе каждой следующей дроби появляются ДВА новых множителя. При оценивании все эти множители заменяют наименьшим возможным.


Т.е меняем на $(2N+3)(2N+4)$ и получаем
$q = \frac{x^2}{(2N+3)(2N+4)} \Rightarrow Q= \frac{1}{1-\frac{x^2}{(2N+3)(2N+4)}} $ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценить функциональный ряд.
Сообщение28.10.2015, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Да.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group