неравенство с параметром

[Ishida Viper-Yuki]

найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство имеет хотя бы одно решение:
$\frac{|x^2+4a(a-x)+4|}{|x-2a|} \leqslant 2x+3-x^2$

[нг]

Ishida Viper-Yuki
Пожалуйста, давайте темам информативные названия.

Тема переименована.

[Henrylee]

А где же Ваша попытка решения?
Начать можно с того, что опустить модуль в числителе.

[Ishida Viper-Yuki]

$\frac{|x^2+4a(a-x)+4|}{|x-2a|} \leqslant 2x+3-x^2$

$\frac{|(x-2a)^2+4 >0|}{|x-2a|} \leqslant (x-3)(x+1)$

$(x-2a)^2+4 >0$ при $x,a \in R$
$\frac{(x-2a)^2+4}{|x-2a|} \leqslant (x-3)(x+1)$
$\frac{(x-2a)^2+4}{(x-3)(x+1)} \leqslant |x-2a| $

[Brukvalub]

Последний переход нарушает правила действия с неравенствами.

[Ishida Viper-Yuki]

Исправил

[Henrylee]

Ishida Viper-Yuki писал(а):

$\frac{|x^2+4a(a-x)+4|}{|x-2a|} \leqslant 2x+3-x^2$

$\frac{|(x-2a)^2+4 >0|}{|x-2a|} \leqslant (x-3)(x+1)$

$(x-2a)^2+4 >0$ при $x,a \in R$
$\frac{(x-2a)^2+4 >0}{|x-2a|} \leqslant (x-3)(x+1)$
$\frac{(x-2a)^2+4 >0}{(x-3)(x+1)} \leqslant |x-2a| $

1. Что тут верно.
Выделение квадрата, опускание модуля, умножение на $|x-2a|$
2. Неверно
Странный значок > в числителе (так не пишут)
деление на произведение скобок (оно может быть и отрицательным)


Исправьте, уберите лишнее, оставьте, что верно, а дальше - дело техники.

[Ishida Viper-Yuki]

Цитата:

(оно может быть и отрицательным)

Почему нет?
Главное - не равным 0.

Добавлено спустя 47 секунд:

Цитата:

а дальше - дело техники.

В ней вся проблема-то

[Таня Тайс]

Ishida Viper-Yuki писал(а):

$\frac{(x-2a)^2+4 >0}{|x-2a|} \leqslant (x-3)(x+1)$

Значит, можно написать $\frac{(x-2a)^2+4 }{|x-2a|} \leqslant (x-3)(x+1)$

Дальше я бы рассмотрела случаи $x -2a >0$
и $x-2a<0$ , учитывая, что $x -2a \neq 0$
и убрала оставшиеся знаки модуля.
А дальше как обычно...

[Henrylee]

Ishida Viper-Yuki писал(а):

Цитата:

(оно может быть и отрицательным)

Почему нет?
Главное - не равным 0.

потому что непонятно, что делать со знаком неравенства $\leqslant$, при таком делении - изменится он или нет?

[bot]

Дык уже первый переход неверен - распространённая ошибка при разложении на множители.

А вообще забавная задача, если задуматься об этом "хотя бы одном решении"
Ладно, молчу, молчу ...

[Ishida Viper-Yuki]

Цитата:

потому что непонятно, что делать со знаком неравенства $\leqslant$, при таком делении - изменится он или нет?

Хм, а что мешает-то сначала умножить неравенство на модуль, а потом разделить на скобки?
Вроде бы не должно меняться

Цитата:

Дык уже первый переход неверен - распространённая ошибка при разложении на множители.

Неверен? о__О

[Henrylee]

Ishida Viper-Yuki писал(а):

Цитата:

потому что непонятно, что делать со знаком неравенства $\leqslant$, при таком делении - изменится он или нет?

Хм, а что мешает-то сначала умножить неравенство на модуль, а потом разделить на скобки?
Вроде бы не должно меняться

только в том случае, когда деление происходит на положительное число

Ishida Viper-Yuki писал(а):

Цитата:

Дык уже первый переход неверен - распространённая ошибка при разложении на множители.

Неверен? о__О

в правой части чуть напутали

[Алексей К.]

Henrylee писал(а):

2. Неверно
деление на произведение скобок (оно может быть и отрицательным)

Ishida Viper-Yuki писал(а):

Почему нет?
Главное - не равным 0.

Вот пусть ликвидация этого страшного заблуждения будет основным результатом возни с этим неравенством.
Вы можете делить обе части равенства на любое число (не равное нулю).
Вы можете делить обе части НЕравенства на любое ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число.
Вы можете раз делить обе части НЕравенства на любое отрицательное число --- НО НЕ ЗАБУДЬТЕ поменять знак неравенства:
$15 < 25$; делим на $-5$, знак поменять забываем:
$-3< -5$ --- ерунда.

И поскольку знак того самого "произведения скобок" Вам неизвестен, делить нельзя.

Добавлено спустя 4 минуты 38 секунд:

Re: неравенство с параметром

Ishida Viper-Yuki писал(а):

$\frac{|x^2+4a(a-x)+4|}{|x-2a|} \leqslant 2x+3-x^2$

$\frac{|(x-2a)^2+4 >0|}{|x-2a|} \leqslant (x-3)(x+1)$

Но ведь $2x+3-x^2\not=(x-3)(x+1)$ !!!

[Ishida Viper-Yuki]

Но ведь $2x+3-x^2\not=(x-3)(x+1)$ !!!
-x^2+2x+3=0 x^2-2x-3=0 x=3 x=-1
Что неверно?