Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

[Abraziv]

Доброго всем времени суток. Необходимо решить систему нелинейных уравнений. Я выбрал метод Ньютона как наиболее быстрый, т.е. имеющий быструю сходимость. Я сделал всё по стандартной схеме: нашёл якобиан, обратную матрицу и задал начальные условия. Но потом возник вопрос, система нелинейных уравнений по имеет несколько корней. Так вот, если я нашёл один корень (вектор), как потом исключить найденный корень, чтобы найти другие ?

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Механика и Техника» в форум «Численные и вычислительные методы, оптимизация»
Причина переноса: в соответствующий раздел.

[ewert]

Abraziv в сообщении #1063267 писал(а):

как потом исключить найденный корень, чтобы найти другие ?

Никак. Во-первых, тех других корней может быть вообще бесконечно много. А в-главных, метод Ньютона в принципе требует для себя достаточно хорошего начального приближения, т.е. локализации корня. В этой связи вопрос его исключения попросту празден.

[Abraziv]

А как тогда быть? Я использую функцию solve() matlab и она всегда выводит 8 корней. Некоторые выводятся комплексные, другие чисто вещественные. Когда корней нет выводится тупо 8 комплексных корней. Как реализовать, что то подобное матлабовской solve, не понятно. Скорость решения меня вполне устраивает. К тому же функция не требует ни каких начальных условий.

Возвращаясь к методу Ньютона. Я пытаюсь решить систему нелинейных уравнений вида:
$f(x,y,z) = A$
$g(x,y,z) = B$
$h(x,y,z) = C$

Можно ли как нибудь разбить $x$, $y$, $z$ на участки и ходить по ним методом Ньютона, т.е. заставить бегать в заданных промежутках ? Тогда можно ходить по этим участкам и искать корень <= какой-то эпсилон. Как быть, товарищи знатоки ?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Численные и вычислительные методы, оптимизация» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Abraziv
Обратите внимание на оформление обозначений.

Abraziv в сообщении #1063460 писал(а):

разбить x y z

Пока исправляю.

[iifat]

Ну дык в такой постановке — никак. Метод Ньютона, насколько я помню, гарантирует вам сходимость к корню, если вы выберете хорошее приближение (сиречь, приближение в некоторой области, в которой функция удовлетворяет условиям). Как вы там окажетесь — не есть проблемы Ньютона.

[Abraziv]

Это я всё знаю. Я просто видел описание, где говорилось, что задача решается методом Ньютона. Где взять начальные условия там не говорилось и мне тоже не понятно. Есть ли методы обладающей 100 проц сходимостью? Тупой перебор =)))) ?

[ewert]

Abraziv в сообщении #1063628 писал(а):

Есть ли методы обладающей 100 проц сходимостью?

Нет. Но есть методы, дающие 99%-ю. Скажем, метод градиентного спуска (как и его модификации) практически гарантированно даёт приближение к какой-либо точке минимума, после чего можно уже пытаться запускать Ньютона. Правда, на какую из многочисленных точек (если их несколько) он выбросит -- естественно, не предскажешь. Тогда остаётся лишь более-менее рандомно перебирать начальные приближения.

[Abraziv]

Спасибо за ответ. Про метод градиентного спуска тоже читал, что он очень устойчив, но и очень медленный. А вот скажите пожалуйста:
Допустим я нахожу один вектор. Одно из уравнений имеет следующий вид: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ - уравнение сферы. Можно ли как то на основании полученного вектора вытащить остальные ? Ну скажем подставляем $y,z$ нахожу два $x$. Ну и тд.

[ShMaxG]

Abraziv в сообщении #1063460 писал(а):

Я использую функцию solve() matlab и она всегда выводит 8 корней. Некоторые выводятся комплексные, другие чисто вещественные. Когда корней нет выводится тупо 8 комплексных корней. Как реализовать, что то подобное матлабовской solve, не понятно. Скорость решения меня вполне устраивает. К тому же функция не требует ни каких начальных условий.

Функция solve служит для аналитического поиска решений и принадлежит системе компьютерной алгебры. Равносильно тому, чтобы на бумажке самому преобразовывать уравнения и искать решения. Поэтому начальных условий не требует. Конечно, эта функция способна разрешить не любую систему уравнений. Для численного (итерационного) поиска решений используется функция fsolve, которое естественно требует начальное приближение и если сойдется, то только к одному корню. Чтобы искать другие корни, нужно задавать другие начальные приближения, а какие -- без априорных сведений и деталей о системе уравнений -- не известно. Таков мир численных методов Можете попробовать взять в пространстве поиска сколько надо точек, равномерно распределенных по области, и из каждой точки запустить солвер.

[Abraziv]

Спасибо за подробный ответ. Если матлаб может решить аналитически, то можно конечно попробовать решить самому аналитически, только как не понятно. Но мне предпочтительнее решить численно, т.к. можно задать погрешность корня.

[DLL]

Какой характер нелинейности? Система полиномиальных уравнений?

[Abraziv]

Система имеет вид:
\left\{ \begin{array}{rcl} \sqrt[2]{(x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 + (z-z_2)^2}-\sqrt[2]{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 + (z-z_1)^2} = R_{21}\\ \sqrt[2]{(x-x_4)^2 + (y-y_4)^2 + (z-z_4)^2}-\sqrt[2]{(x-x_3)^2 + (y-y_3)^2 + (z-z_3)^2} = R_{43}\\ x^2 + y^2 + z^2/b = a^2\\ \end{array} \right.

Где:
$R_{21} = R_2 - R_1 $

$R_1^2 = (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 + (z-z_1)^2$

$R_2^2 = (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 + (z-z_2)^2$

Для $R_{43}$ аналогично

$x_i,y_i,z_i,R_{ij},b,a = const$

$R_i,x,y,z$ - неизвестные
От иррациональности можно избавиться, но ценной введения дополнительных неизвестных. Так же теоретически от иррациональности можно избавиться путём приведения уравнений гиперболоидов (1ое и 2ое) к общему уравнению кривой второго порядка (кто нибудь знает формулы?).

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

В т.ч. нижние индексы оформите как нижние индексы.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.