Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[iifat]

Ну, два двуполостных или как они там называются гиперболоида вращения и эллипсоид тоже вращения, что, впрочем, неважно. Ах да, половинки гиперболоидов. Помнится, переносим один корень вправо, возводим в квадрат, потом ещё раз. Попробуйте, должно получиться.

[Abraziv]

Я кажись понял как решить данную систему аналитически. Правда придётся её преобразовать к системе из 5 неизвестных с 5 уравнениями и очень сильно попотеть.

-- 17.10.2015, 22:56 --

iifat в сообщении #1063681 писал(а):

Ну, два двуполостных или как они там называются гиперболоида вращения и эллипсоид тоже вращения, что, впрочем, неважно. Ах да, половинки гиперболоидов. Помнится, переносим один корень вправо, возводим в квадрат, потом ещё раз. Попробуйте, должно получиться.

Если делать как вы говорите то можно получить систему с 5 неизвестными и 3мя уравнениями, т.е. не удастся разрешить неопределённость.

-- 17.10.2015, 23:45 --

Господа знатоки. Есть к вам вопрос. Представим, что есть уравнение описывающее какую-то геометрическую фигуру. Потом представляем это уравнение в виде двух уравнений (которые описывают туже самую фигуру). Производная по времени от исходного уравнения - соответствует ли производной от каждого эквивалентного уравнения, т.е. системе производных от эквивалентных уравнений?

[iifat]

Abraziv в сообщении #1063689 писал(а):

можно получить систему с 5 неизвестными и 3мя уравнениями

Вы странно как-то считаете. Для $R_{1,2}$ выписаны фактически функции. Вы уж либо их неизвестными не обзывайте, либо включите определения как уравнения. Полная определённость в любом случае.

Abraziv в сообщении #1063689 писал(а):

Производная по времени

Давайте сначала вы расскажете, что есть производная по времени от куба.

[Abraziv]

От куба не знаю, но вот от гиперболы могу сказать. Гипербола есть разность расстояний равная константе. Тогда производная от гиперболы будет разность проекция скорости равная разности модулей скоростей. Как то так.

iifat в сообщении #1063755 писал(а):

Вы странно как-то считаете. Для $R_{1,2}$ выписаны фактически функции. Вы уж либо их неизвестными не обзывайте, либо включите определения как уравнения. Полная определённость в любом случае.

Не совсем вас понял.

[Lia]

Abraziv
Там кнопочки есть. "Цитата" и "Вставка". Научитесь использовать, будьте добры, и отредактируйте цитирование.

[Abraziv]

Я с телефона, извиняюсь. Утром отредактирую.

[iifat]

Abraziv в сообщении #1063718 писал(а):

Как то так

Смею вас уверить, как-то совсем не так.

Abraziv в сообщении #1063718 писал(а):

Не совсем вас понял

Ну, у вас там пять уравнений. Пять. Два последних вида $R=f(x,y,z)$ можно и не считать уравнениями, но тогда и $R$ — не неизвестное.
Другими словами, либо вы решаете первые три, находите $x,y,z$, подставляете в формулы, находите $R$, либо присоединяете те два и решаете систему из пяти.

[ewert]

(Оффтоп)

Abraziv в сообщении #1063689 писал(а):

Господа знатоки. Есть к вам вопрос. Представим, что есть уравнение описывающее какую-то геометрическую фигуру. Потом представляем это уравнение в виде двух уравнений (которые описывают туже самую фигуру). Производная по времени от исходного уравнения

я начинаю сомневаться (ну или наоборот)

[redicka]

Есть метод Драгилева.Он хорош тем, что сразу отделяет все корни.
Уточнять их далее можно любым методом.

[Lia]

Abraziv в сообщении #1063722 писал(а):

Утром отредактирую.

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Утро, сэр.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

Возвращено.

[Abraziv]

iifat в сообщении #1063755 писал(а):

Abraziv в сообщении #1063718 писал(а):

Как то так

Смею вас уверить, как-то совсем не так.

Abraziv в сообщении #1063718 писал(а):

Не совсем вас понял

Ну, у вас там пять уравнений. Пять. Два последних вида $R=f(x,y,z)$ можно и не считать уравнениями, но тогда и $R$ — не неизвестное.
Другими словами, либо вы решаете первые три, находите $x,y,z$, подставляете в формулы, находите $R$, либо присоединяете те два и решаете систему из пяти.

У меня 3 уравнения выделены знаком системы.
$R_{ij}$ - это константы и они известны. То что $R_{ij} = R_i - R_j $ - я написал просто, может у кого идея возникнет, как преобразовать. $R_i$ - неизвестные.
Можно сделать так:
$R_{ij}+R_j = R_i$
Возводим в квадрат: $(R_{ij}+R_j)^2 = R_i^2$
Далее раскрываем: $R_{ij}^2 + 2R_{ij}R_j + R_j^2 = x^2 + y^2 + z^2 -2xx_i - 2yy_i - 2zz_i + x_i^2 + y_i^2 + z_i^2$
Теперь вычитаем уравнение для $R_j^2$ из предыдущего: $R_{ij}^2 + 2R_{ij}R_j = (x_i^2 + y_i^2 + z_i^2) - (x_j^2 + y_j^2 + z_j^2) - 2(x_i-x_j) - 2(y_i-y_j) - 2(z_i-z_j)$
В итоге мы избавились от иррациональности и квадрата неизвестных, но путём введения новой переменной $R_j$, только для этого я привёл дополнительные уравнения (помимо системных).

Теперь насчёт дифференцирования по времени. Я конечно же не математик, как вы сами уже догадались и специальность у меня не та, чтобы такими оборотами оперировать, но тем не менее.
$\frac{\partial R_{ij}}{\partial t} = v_{ij} = \frac{(x-x_i)V_{xi} + (y-y_i)V_{yi} + (z-z_i)V_{zi}}{\sqrt[2]{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2}} - \frac{(x-x_j)V_{xj} + (y-y_j)V_{yj} + (z-z_j)V_{zj}}{\sqrt[2]{(x-x_j)^2 + (y-y_j)^2 + (z-z_j)^2}}$
где $V_x,V_y,V_z$ - проекции вектора скорости

iifat что здесь не так ? Возможно я неправильно выразился, поэтому вы сказали - не так.

Теперь о моей идеи. По мимо общего определения гиперболы(разность расстояний равно константе), можно дать и другое определение, которое заключается в следующем:
В фокусы гиперболы поместим окружности, причём для первого фокуса окружность будет иметь радиус равный 0, а для второй окружности радиус будет равен $R_{21}$. Теперь мысленно представляем ещё одну окружность которая касается двух заданных(фокусных) и умозрительно увеличиваем радиус этой третьей окружности сохраняя при этом касание к фокусным. Можно наблюдать как центр третьей окружности будет описывать гиперболу (геометрическое место точек). Вот так=)))

Теперь к аналитике.
Опишем гиперболоид (сразу же расширим на 3D), через фокусные сферы:
$(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2 = R$
$(x-x_j)^2 + (y-y_j)^2 + (z-z_j)^2 = (R + R_{ij})^2$

Если описать нашу систему через сферы, то получим:
\left\{ \begin{array}{lcl} (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 + (z-z_1)^2 = R_1 \\ (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 + (z-z_2)^2 = (R_1 + R_{21})^2 \\ (x-x_3)^2 + (y-y_3)^2 + (z-z_3)^2 = R_2 \\ (x-x_4)^2 + (y-y_4)^2 + (z-z_4)^2 = (R_2 + R_{43})^2 \\ x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \end{array} \right.
5 уравнение сферы, а не эллипсоида. Пусть будет для начала хотя бы через сферу

Далее если раскрыть скобки и привести подобное и потом из первых четырёх вычесть последнее уравнение, получим 4 уравнения без нелинейности неизвестных (без квадрата), но с 5 неизвестными. Я столкнулся здесь с проблемой - неизвестные $R_1$ и $R_2$ получаются в квадрате. Если получится как то преобразовать и тем самым избавиться от $R_1^2$ или $R_2^2$, то любую из $R_1$ или $R_2$можно будет положить константой, получим линейное уравнение с неизвестными $x,y,z, R_1 (R_2)$. Решаем методом исключения Гаусса, полученные $x,y,z, R_1 (R_2)$ подставить во 2(если за константу бралась $R_2$ ) или 4 (если за константу бралась $R_1$) уравнение. Решаем уравнение 4 степени и тем самым находим $R_1 (R_2)$. Далее для найденных методом исключения $x,y,z, R_1 (R_2)$ находим по 4 значения. Но увы, походу не получится избавиться от $R_1^2$ или $R_2^2$.

Вопрос насчёт дифференцирования остался.
Эквивалентно ли дифференцирование по времени уравнения гиперболоида (одно уравнение) и двух уравнений через сферы?

[iifat]

Abraziv в сообщении #1063859 писал(а):

В итоге мы избавились от иррациональности и квадрата неизвестных

Ещё не избавились. А вот если перенести всё (константы!) направо, чтоб слева осталось $R_j$, подставить его (её?) из формулы, возвести в квадрат — получим уравнение второго порядка, но без радикалов и с только тремя неизвестными. Собственно, так можно преобразовывать первое уравнение сразу, не вводя дополнительных переменных.

Abraziv в сообщении #1063859 писал(а):

Теперь насчёт дифференцирования по времени

Понимаете, вот, к примеру, куб. Для простоты. Переменные на поверхности связаны, естественно, некими соотношениями. Что толку дифференцировать их по времени? Куб вечен и неизменен как... Как не знаю что. Но абсолютно.
Дифференцировать по времени можно радиус-вектор. Или скорость. Или что-нить ещё, преходящее, от времени зависящее.

[Abraziv]

Спасибо, что ответили.

iifat в сообщении #1063867 писал(а):

Дифференцировать по времени можно радиус-вектор. Или скорость. Или что-нить ещё, преходящее, от времени зависящее.

Да. Я с вами полностью согласен, от идеи до мракобесия один шаг. Я как раз и дифференцирую радиус вектор $R(x,y,z)$, а точнее разность векторов (гиперболоид!!!). Радиус или расстояние, какая разница ?

$$R_{21} = R_2 - R_1$$

$$\frac{\partial R_{21}}{\partial t} = \frac{\partial R_2}{\partial t} - \frac{\partial R_1}{\partial t} = v_2 - v_1$$

Я понимаю, что с точки зрения математики выше описанное "режет слух", но с точки зрения физики имеет вполне ясный смысл.

iifat в сообщении #1063867 писал(а):

Ещё не избавились. А вот если перенести всё (константы!) направо, чтоб слева осталось $R_j$, подставить его (её?) из формулы, возвести в квадрат — получим уравнение второго порядка, но без радикалов и с только тремя неизвестными. Собственно, так можно преобразовывать первое уравнение сразу, не вводя дополнительных переменных.

А, что толку то. Ушёл радикал, пришёл квадрат. Я же сразу же сказал, что уравнение гиперболоида можно записать через общее уравнение кривой второго порядка. Просто толку то, от нелинейности не избавимся всё равно .

[DLL]

Давайте сузим вашу задачу. Вам что собственно требуется?
Найти численно все решения системы, правильно?
Ее можно выписать в виде системы полиномиальных уравнений? Выпишите ее явно и укажите, что неизвестные, а что параметры...