2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нелинейная краевая задача
Сообщение09.02.2006, 21:18 


09/02/06
50
Киев
Господа!
Помогите решить задачу:

$ y''(x) + ay + by^3 = h(x)$
$ y'(x=0) = 0;$
$ y'(x=1) = 0;$
где $h(x) = h_0 x$
и a, b, $h_0$ - постоянные

Подскажите хотя бы метод, который стоит попробовать.
Или книгу, где можно найти, способ решения подобных уравнений.

Буду благодарен за любую информацию.
С уважением, Андрей.

P.S. Я, кстати, физик. Могу подсказать какие-то вопросы по физике.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.02.2006, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Единственная идея, которая приходит в голову -- метод варьирования постоянной. То есть, решить однородное уравнение $y'' +a y + b y^3 = 0$, а затем заменить постоянные интегрирования на функции, и попытаться решить полный дифур относительно них. Но и это в Вашем случае будет нехилой работой.

 Профиль  
                  
 
 Литература.
Сообщение09.02.2006, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Посмотрите литературу по нелинейным колебаниям. Например:
А.Тондл. Нелинейные колебания механических систем. "Мир", Москва, 1973.
В этой книге среди прочих в § 4 изучается уравнение $m\ddot x+\delta\dot x +cx+\beta x^3=P\cos\omega t$, похожее не Ваше. Может быть, что-нибудь полезное там найдёте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить ДУ
Сообщение09.02.2006, 22:42 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
При h(x)=0 решение уравнения $ y''(x) + ay + by^3 = h(x)$
должно выражаться через функции Якоби или Вейерштрасса. Тоесть можно построить точное решение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.02.2006, 22:47 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
При h=0 точное решение с этими граничными условиями есть просто y=0.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2006, 00:11 


05/02/06
9
Минск
Я бы решал методом сеток, ведь похоже, что главное решить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2006, 08:46 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Умножая 2y'(x) и интегрируя один раз получаем y'^2+ay^2+b1y^4=I,b1=b/2, I=интеграл от 2hy'. Нормируя у можно считать или h=x или h=0, b1=1. Далее считая y независимой переменной, можно искать x(y). При этом появляется дискретное множество решений, зависящего от натурального параметра n, характеризующего количество экстремумов в интервале (0,1) у функций y(x). Континиум решений, только при b=0, a=(k*pi)^2.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2006, 14:46 


08/12/05
21
Львов
К сожалению, точное решение найти не удается, да я и не думаю, что оно будет полезным, т.к. это будет очень сложная функция.
Усли Вас устраивает приближенное решение, то его схема такова (я использую Maple10)

restart;
\\ with(ODETools) \\
ODE :=diff(y(x),x,x)+a*y(x)+b*y(x)^3=h[0]*x;

Ищем решение начальной задачи, где значение производной в начальной
точке оставляем произвольным X, в виде ряда

Order :=8; \\
ans[series] :=dsolve( \{ODE, y(0)=0, D(y)(0)=X\},
y(x),type='series');\\
ans[series] := y(x) =
Xx+(-(1/6)aX+(1/6)h[0])x^3+((1/120)a^2X-(1/120)ah[0]-(1/20)bX^
3)x^5+(-(1/5040)a^3X+(1/5040)a^2h[0]+(11/840)abX^3-(1/84)bX^2h[0])x^7+O(x^8);

Теперь дифференцируем решение и находим X, такое, чтобы
удовлетворялось второе условие (длинные формулы ответов я убрал - Вы
легко можете восстановить их с помощью Maple )


X=solve(subs(x=1,diff(rhs(convert(ans[series],polynom)),x)),X);

Выбираем действительное X[1] и теперь находим приближенное решение уже Вашей задачи

ans :=dsolve( \{ODE, y(0)=0, D(y)(0)=X[1]\}, y(x),type='series');

Ответ достаточно длинный, но проверка положительная (т.е. уравнение выполняется с точностью O(x^8)

odetest(ans,ODE, series);\\
0;

Надеюсь, что это Вам поможет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2006, 14:57 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
При этом получаются все решения с n экстремумами n=1,2,3,...?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.02.2006, 14:11 


09/02/06
50
Киев
Огромное спасибо всем, кто принимал участие в обсуждении.
Но к сожалению задача так и не была мною решена.
Точные решения действительно громоздки, и я не доводил их до конца.
Приближённое решение тоже пробовал, графики рисовал, но всё равно оно меня не удовлетворило.
Я физик, и поэтому любое уравнение для меня, как живое существо, содержит в себе определённый физический смысл. Если решать уравнение точно, выходит что-то невероятно сложное, чего нельзя проанализировать. Если решать приближённо - это хороший метод, но случай с разложением (большое спасибо за приложенные усилия Юрию Косовцову, не знаю даже как благодарить) опять же не подходит, теряется весь смысл, его просто невозможно увидеть в решении, даже если очень долго смотреть. Такие уж мы, физики, капризные. И впрямь, как женщины.:)
Ваши размышления натолкнули меня на новые идеи. И я всем за это благодарен (особенно господину Someone. Книгу к сожалению не нашёл, если у Вас есть ссылочка, буду благодарен!). И размышления следующие:
Для начала уберём член с $y^3$и сделаем уравнение однородным, получится что-то вроде уравнения струночки со свободными концами.
$y''(x)+k^2y(x)=0$
$y'(0)=0$
$y'(1)=0$
Первое, что приходит в голову, правильно - пространственная структура. Это уже ближе к делу. Заметьте, что разложение в ряд такой картины не давало, у меня по карйней мере.
Дальше, усложняем ситуацию - добавляем внешнее поле. В целом, суть картины не меняется, периодическая структура остаётся. Дальше, добавляем нелинейный член. У меня, как у физика, возникает желание оставить "адын" $y$ за скобочками, что приводит к следующему виду:
$y''(x) + k^2(y)y(x)=x$
где $k^2(y) = a + by^2$
Получается, что длина волны стоячих волн струночки зависит от величины отклонения этой самой струночки от положения равновесия, короче $y$ влезает интересным образом в $k$. К чему эта идея приведёт не знаю. Вот я и предлагаю продолжить дискуссию в этом ключе. Если я где-то ошибся, буду рад критике.

Кстати, эта задача возникает в теории критических явлений в неоднородных системах с внешним полем.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.02.2006, 15:46 


09/02/06
50
Киев
Граждане!

У меня появилась идея использовать ряды Фурье, но как поступить в этой задаче не знаю. Может кто-нибудь подскажет метод или источник?
Пробовал решать последовательными приближениями, но Maple вешается на 2-м шаге.

Буду очень признателен за помощь! Андрей.

 Профиль  
                  
 
 еще одна книга
Сообщение16.02.2006, 16:06 


02/08/05
55
К Чанг, Ф Хауэс. нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи изд МИР 1988
кстати с численными методами возможен конфуз , там примеры. единственности решения то нет !

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.02.2006, 16:51 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Я бы всё таки пошёл дальше по предложенной мною пути. Нормируя примем h=x. Для начала дифференцируем уравнение один раз: u''+au+3buy^2=1, u=y'. Уравнение не зависит от x. Далее переходим или к поиску y(u) (заметим, что в уравнении дифференцирование по x, которое надо выразить через y(u),u).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group