Нелинейная краевая задача

[yog]

Господа!
Помогите решить задачу:

$ y''(x) + ay + by^3 = h(x)$
$ y'(x=0) = 0;$
$ y'(x=1) = 0;$
где $h(x) = h_0 x$
и a, b, $h_0$ - постоянные

Подскажите хотя бы метод, который стоит попробовать.
Или книгу, где можно найти, способ решения подобных уравнений.

Буду благодарен за любую информацию.
С уважением, Андрей.

P.S. Я, кстати, физик. Могу подсказать какие-то вопросы по физике.

[незваный гость]

Единственная идея, которая приходит в голову -- метод варьирования постоянной. То есть, решить однородное уравнение $y'' +a y + b y^3 = 0$, а затем заменить постоянные интегрирования на функции, и попытаться решить полный дифур относительно них. Но и это в Вашем случае будет нехилой работой.

[Someone]

Посмотрите литературу по нелинейным колебаниям. Например:
А.Тондл. Нелинейные колебания механических систем. "Мир", Москва, 1973.
В этой книге среди прочих в § 4 изучается уравнение $m\ddot x+\delta\dot x +cx+\beta x^3=P\cos\omega t$, похожее не Ваше. Может быть, что-нибудь полезное там найдёте.

[Аурелиано Буэндиа]

При h(x)=0 решение уравнения $ y''(x) + ay + by^3 = h(x)$
должно выражаться через функции Якоби или Вейерштрасса. Тоесть можно построить точное решение.

[Руст]

При h=0 точное решение с этими граничными условиями есть просто y=0.

[Alex_L]

Я бы решал методом сеток, ведь похоже, что главное решить.

[Руст]

Умножая 2y'(x) и интегрируя один раз получаем y'^2+ay^2+b1y^4=I,b1=b/2, I=интеграл от 2hy'. Нормируя у можно считать или h=x или h=0, b1=1. Далее считая y независимой переменной, можно искать x(y). При этом появляется дискретное множество решений, зависящего от натурального параметра n, характеризующего количество экстремумов в интервале (0,1) у функций y(x). Континиум решений, только при b=0, a=(k*pi)^2.

[Юрий Косовцов]

К сожалению, точное решение найти не удается, да я и не думаю, что оно будет полезным, т.к. это будет очень сложная функция.
Усли Вас устраивает приближенное решение, то его схема такова (я использую Maple10)

restart; \\ with(ODETools) \\ ODE :=diff(y(x),x,x)+a*y(x)+b*y(x)^3=h[0]*x;

Ищем решение начальной задачи, где значение производной в начальной
точке оставляем произвольным X, в виде ряда

Order :=8; \\ ans[series] :=dsolve( \{ODE, y(0)=0, D(y)(0)=X\}, y(x),type='series');\\ ans[series] := y(x) = Xx+(-(1/6)aX+(1/6)h[0])x^3+((1/120)a^2X-(1/120)ah[0]-(1/20)bX^ 3)x^5+(-(1/5040)a^3X+(1/5040)a^2h[0]+(11/840)abX^3-(1/84)bX^2h[0])x^7+O(x^8);

Теперь дифференцируем решение и находим X, такое, чтобы
удовлетворялось второе условие (длинные формулы ответов я убрал - Вы
легко можете восстановить их с помощью Maple )


X=solve(subs(x=1,diff(rhs(convert(ans[series],polynom)),x)),X);

Выбираем действительное X[1] и теперь находим приближенное решение уже Вашей задачи

ans :=dsolve( \{ODE, y(0)=0, D(y)(0)=X[1]\}, y(x),type='series');

Ответ достаточно длинный, но проверка положительная (т.е. уравнение выполняется с точностью O(x^8)

odetest(ans,ODE, series);\\ 0;

Надеюсь, что это Вам поможет.

[Руст]

При этом получаются все решения с n экстремумами n=1,2,3,...?

[yog]

Огромное спасибо всем, кто принимал участие в обсуждении.
Но к сожалению задача так и не была мною решена.
Точные решения действительно громоздки, и я не доводил их до конца.
Приближённое решение тоже пробовал, графики рисовал, но всё равно оно меня не удовлетворило.
Я физик, и поэтому любое уравнение для меня, как живое существо, содержит в себе определённый физический смысл. Если решать уравнение точно, выходит что-то невероятно сложное, чего нельзя проанализировать. Если решать приближённо - это хороший метод, но случай с разложением (большое спасибо за приложенные усилия Юрию Косовцову, не знаю даже как благодарить) опять же не подходит, теряется весь смысл, его просто невозможно увидеть в решении, даже если очень долго смотреть. Такие уж мы, физики, капризные. И впрямь, как женщины.
Ваши размышления натолкнули меня на новые идеи. И я всем за это благодарен (особенно господину Someone. Книгу к сожалению не нашёл, если у Вас есть ссылочка, буду благодарен!). И размышления следующие:
Для начала уберём член с $y^3$и сделаем уравнение однородным, получится что-то вроде уравнения струночки со свободными концами.
$y''(x)+k^2y(x)=0$
$y'(0)=0$
$y'(1)=0$
Первое, что приходит в голову, правильно - пространственная структура. Это уже ближе к делу. Заметьте, что разложение в ряд такой картины не давало, у меня по карйней мере.
Дальше, усложняем ситуацию - добавляем внешнее поле. В целом, суть картины не меняется, периодическая структура остаётся. Дальше, добавляем нелинейный член. У меня, как у физика, возникает желание оставить "адын" $y$ за скобочками, что приводит к следующему виду:
$y''(x) + k^2(y)y(x)=x$
где $k^2(y) = a + by^2$
Получается, что длина волны стоячих волн струночки зависит от величины отклонения этой самой струночки от положения равновесия, короче $y$ влезает интересным образом в $k$. К чему эта идея приведёт не знаю. Вот я и предлагаю продолжить дискуссию в этом ключе. Если я где-то ошибся, буду рад критике.

Кстати, эта задача возникает в теории критических явлений в неоднородных системах с внешним полем.

[yog]

Граждане!

У меня появилась идея использовать ряды Фурье, но как поступить в этой задаче не знаю. Может кто-нибудь подскажет метод или источник?
Пробовал решать последовательными приближениями, но Maple вешается на 2-м шаге.

Буду очень признателен за помощь! Андрей.

[вв]

К Чанг, Ф Хауэс. нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи изд МИР 1988
кстати с численными методами возможен конфуз , там примеры. единственности решения то нет !

[Руст]

Я бы всё таки пошёл дальше по предложенной мною пути. Нормируя примем h=x. Для начала дифференцируем уравнение один раз: u''+au+3buy^2=1, u=y'. Уравнение не зависит от x. Далее переходим или к поиску y(u) (заметим, что в уравнении дифференцирование по x, которое надо выразить через y(u),u).