Огромное спасибо всем, кто принимал участие в обсуждении.
Но к сожалению задача так и не была мною решена.
Точные решения действительно громоздки, и я не доводил их до конца.
Приближённое решение тоже пробовал, графики рисовал, но всё равно оно меня не удовлетворило.
Я физик, и поэтому любое уравнение для меня, как живое существо, содержит в себе определённый физический смысл. Если решать уравнение точно, выходит что-то невероятно сложное, чего нельзя проанализировать. Если решать приближённо - это хороший метод, но случай с разложением (большое спасибо за приложенные усилия Юрию Косовцову, не знаю даже как благодарить) опять же не подходит, теряется весь смысл, его просто невозможно увидеть в решении, даже если очень долго смотреть. Такие уж мы, физики, капризные. И впрямь, как женщины.
Ваши размышления натолкнули меня на новые идеи. И я всем за это благодарен (особенно господину Someone. Книгу к сожалению не нашёл, если у Вас есть ссылочка, буду благодарен!). И размышления следующие:
Для начала уберём член с

и сделаем уравнение однородным, получится что-то вроде уравнения струночки со свободными концами.
Первое, что приходит в голову, правильно - пространственная структура. Это уже ближе к делу. Заметьте, что разложение в ряд такой картины не давало, у меня по карйней мере.
Дальше, усложняем ситуацию - добавляем внешнее поле. В целом, суть картины не меняется, периодическая структура остаётся. Дальше, добавляем нелинейный член. У меня, как у физика, возникает желание оставить "адын"

за скобочками, что приводит к следующему виду:
где
Получается, что длина волны стоячих волн струночки зависит от величины отклонения этой самой струночки от положения равновесия, короче

влезает интересным образом в

. К чему эта идея приведёт не знаю. Вот я и предлагаю продолжить дискуссию в этом ключе. Если я где-то ошибся, буду рад критике.
Кстати, эта задача возникает в теории критических явлений в неоднородных системах с внешним полем.