последовательность дробей стремится к иррациональному числу

[Злобный Пес]

Доказать, что если последовательность несократимых дробей стремится к некоторому иррациональному числу, то последовательность знаменателей этих дробей стремится к бесконечности.

[Профессор Снэйп]

Для любого иррационального $r$ и натурального $n$ можно найти $\varepsilon > 0$, такое что в $\varepsilon$-окрестности числа $r$ нет несократимых дробей со знаменателями $\leqslant n$. Действительно, несократимых дробей со знаменателями $\leqslant n$ и находящимися на расстоянии $\leqslant 1$ от $r$ конечное число, так что в качестве $\varepsilon$ можно взять расстояние от $r$ до ближайшей такой дроби.

[Brukvalub]

Можно воспользоваться тем фактом, что среди всех несократимых дробей, знаменатели которых ограничены, обязательно есть ближайшая к данному иррац. числу.

[Коровьев]

Если тривиально и не строго, то - разность соседних дробей есть дробь стремящаяся к нулю, а это возможно /при ненулевом числителе/ лишь при знаменателе стремящегося к бесконечности.

[Профессор Снэйп]

Коровьев писал(а):

Если тривиально и не строго, то - разность соседних дробей есть дробь стремящаяся к нулю, а это возможно /при ненулевом числителе/ лишь при знаменателе стремящегося к бесконечности.

Вот это, кстати, не обязательно.

Вы нигде не используете иррациональность числа $r$. А при рациональном $r$ утверждение не верно.

[Злобный Пес]

Профессор Снэйп
И всетаки мне не очень понятно как это доказать...(я приблизительно понимаю вашу мысль, но боюсь этого будет недостаточно....не могли бы вы расписать подробней)

[Zai]

Если знаменатель не стремится к бесконечности, то бесконечная последовательность содержит повторяющиеся члены или группы членов, и она или не сходится или состоит из одной и той же дроби.