2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 последовательность дробей стремится к иррациональному числу
Сообщение13.03.2008, 20:29 
Доказать, что если последовательность несократимых дробей стремится к некоторому иррациональному числу, то последовательность знаменателей этих дробей стремится к бесконечности.

 
 
 
 
Сообщение13.03.2008, 20:39 
Аватара пользователя
Для любого иррационального $r$ и натурального $n$ можно найти $\varepsilon > 0$, такое что в $\varepsilon$-окрестности числа $r$ нет несократимых дробей со знаменателями $\leqslant n$. Действительно, несократимых дробей со знаменателями $\leqslant n$ и находящимися на расстоянии $\leqslant 1$ от $r$ конечное число, так что в качестве $\varepsilon$ можно взять расстояние от $r$ до ближайшей такой дроби.

 
 
 
 
Сообщение13.03.2008, 20:41 
Аватара пользователя
Можно воспользоваться тем фактом, что среди всех несократимых дробей, знаменатели которых ограничены, обязательно есть ближайшая к данному иррац. числу.

 
 
 
 
Сообщение13.03.2008, 20:49 
Аватара пользователя
Если тривиально и не строго, то - разность соседних дробей есть дробь стремящаяся к нулю, а это возможно /при ненулевом числителе/ лишь при знаменателе стремящегося к бесконечности.

 
 
 
 
Сообщение13.03.2008, 20:54 
Аватара пользователя
Коровьев писал(а):
Если тривиально и не строго, то - разность соседних дробей есть дробь стремящаяся к нулю, а это возможно /при ненулевом числителе/ лишь при знаменателе стремящегося к бесконечности.


Вот это, кстати, не обязательно.

Вы нигде не используете иррациональность числа $r$. А при рациональном $r$ утверждение не верно.

 
 
 
 
Сообщение13.03.2008, 21:16 
Профессор Снэйп
И всетаки мне не очень понятно как это доказать...(я приблизительно понимаю вашу мысль, но боюсь этого будет недостаточно....не могли бы вы расписать подробней)

 
 
 
 
Сообщение13.03.2008, 22:03 
Аватара пользователя
Если знаменатель не стремится к бесконечности, то бесконечная последовательность содержит повторяющиеся члены или группы членов, и она или не сходится или состоит из одной и той же дроби.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group