Новый парадокс СТО или Парадокс замкнутого тока

[peregoudov]

Чем в стопицотый раз жевать всякую чушь, предлагаю поломать голову над неизбитым парадоксом.

По замкнутому контуру течет ток. Как обычно, чтобы упростить рассмотрение до одномерного, сильно вытянем контур в каком-то направлении и не будем интересоваться, что там на концах, тем более, что увеличением вытянутых сторон (без изменения конфигурации концов) всегда можно свести влияние концов на нет. В общем, есть два параллельных бесконечных провода, по которым текут равные и противоположно направленные токи. И пусть сечение одного провода больше сечения другого. Парадокс возникает, когда мы поинтересуемся, как в проводах движутся электроны.

Рассмотрим сначала ситуацию с классической точки зрения. Плотность тока $j=env$ в проводах должна быть разной, поскольку различно сечение, и может быть разной только из-за различной скорости электронов. Для определенности примем, что слева направо электроны движутся со скоростью $v$, а справа налево --- со скоростью $2v$. Понятно, в равных по длине кусках проводов первых электронов вдвое больше, чем вторых. Поинтересуемся теперь импульсом электронов. Поскольку импульс одного электрона равен $mv$, то полный импульс всех электронов равен в точности нулю: слева направо электроны движутся с вдвое меньшей скоростью, зато и самих их вдвое больше. И это вполне согласуется с тем, что как целое система электронов никуда не движется: электроны просто бегают по кругу.

Положение меняется, если мы рассмотрим ситуацию с точки зрения СТО. Выражение для тока остается тем же самым, тем же самым остается и соотношение количества летящих направо и налево электронов: первых вдвое больше. А вот с импульсом выходят чудеса, поскольку импульс в СТО равен $mv/\sqrt{1-v^2\!/c^2}$. В расчете на один летящий слева направо электрон система электронов имеет нескомпенсированный импульс $mv/\sqrt{1-v^2\!/c^2}-\frac12m(2v)/\sqrt{1-(2v)^2\!/c^2}=mv(-3v^2\!/2c^2+\ldots)$. Но ведь если система электронов имеет отличный от нуля импульс, то она обязана как целое двигаться! А у нас электроны просто бегают по кругу.

Вот такой парадокс.

[DimaM]

peregoudov в сообщении #1062432 писал(а):

тем же самым остается и соотношение количества летящих направо и налево электронов: первых вдвое больше

Это почему?

[peregoudov]

Потому что закон сохранения электрического заряда.

[EEater]

Вы принимаете по умолчанию, что тонкий и толстый проводники содержат одинаковое количество электронов, но это ниоткуда не следует. ЗСЗ это условие непрерывности: количество зарядов, сходящих с толстого, должно равняться количеству зарядов, вступающих на тонкий.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: отсутствие дискуссионности.

[kw_artem]

peregoudov в сообщении #1062432 писал(а):

Выражение для тока остается тем же самым

...и выражение для пространственной части 4-тока изменяется:

$$en\mathbf{v}\to en\gamma\mathbf{v}$$

[Z.S.]

А может надо еще учесть статическое давление электронного газа? В тонком проводнике оно поменьше, раз скорость побольше. В толстом - давление побольше, раз скорость поменьше. Импульс среды зависит же и от давления в ней? В итоге, ваша "релятивистская" разница и скомпенсируется. Как вам такое объяснение?

[Munin]

peregoudov в сообщении #1062432 писал(а):

Но ведь если система электронов имеет отличный от нуля импульс, то она обязана как целое двигаться!

Проблемы вот в этой фразе. Импульс не показывает, как "двигается система как целое". Импульс показывает, как в системе двигается её энергия-импульс.

Допустим, мы перестанем жульничать, и заменим бесконечно удалённые концы провода на далёкие, но конечные точки $A$ и $B.$ Не так важно, что там будет: металлические шары, ускорители электронов, да хоть трамвайные депо. Их можно окружить неподвижными поверхностями, и считать в сумме, что внутри, что вошло и что вышло.

И тогда получится:
- С точки зрения заряда, и станция $A,$ и станция $B$ получают столько же, сколько тратят. С этой точки зрения, "система как целое" не движется.
- Но с точки зрения энергии, станция $A$ будет постоянно терять энергию, а станция $B$ - постоянно получать её. И если взять в пространстве некую точку - "центр масс энергии", то она будет сдвигаться от $A$ к $B.$ В этом смысле, "система как целое" движется, хотя правильней это назвать перекачкой энергии, а не движением системы.

И никто не обещал, что одна картина будет совпадать с другой. Это легко понять: ведь можно рассматривать, скажем, электроны и антипротоны. Заряд у них одинаковый, а масса сильно разная. И если происходит какое-то непрерывное течение заряда, это вовсе не значит, что с массой то же самое. А в СТО масса превращается в энергию.

[AnatolyBa]

Мне кажется ситуация не очень точно описана, а если попытаться описать точно, возникают сложности.
Вы не можете пользоваться свободными электонами, т.к. в этом случае кто-то на конце должен заменять
два электрона на один, заворачивать, ускорять - в этом случае общий импульс не обязан быть нулем.
То есть должен быть проводник. Сверхпроводник я рассматривать боюсь, значит обычный проводник с ЭДС.
ЭДС - какая-то штука приклеенная к решетке проводника. Вот посмотрим что происходит в классической, не квантовой модели.
ЭДС создает напряженность, электрон разгоняется, приобретает импульс (если учесть ТО не совсем пропорциональный скорости).
Но и штука имемуемая ЭДС (вместе с приклеенной решеткой)приобретает импульс в противоположном направлении, т.е. общий импульс остается нулевым.
Затем электрон ударяется в решетку, теряет импульс, но и решетка теряет импулс ранее пробретенный, опять все скомпенсированно.
И так далее.

[Munin]

Хорошее замечание. Я что-то переключился с импульса на энергию. А импульс тоже будет передаваться, если не будет передаваться обратно натяжением проводов, что просто не оговорено в условиях.

[peregoudov]

EEater в сообщении #1062471 писал(а):

ЗСЗ это условие непрерывности: количество зарядов, сходящих с толстого, должно равняться количеству зарядов, вступающих на тонкий.

Совершенно верно! Закон сохранения заряда требует, чтобы произведение числа электронов в единице длины провода на их скорость (по сути --- это ток) было одинаковым для обоих проводов. Вы предлагаете рассмотреть тривиальный случай, когда скорости и количества электронов равны по раздельности? А я предлагаю рассмотреть менее тривиальный случай, когда скорости разные, число электронов разное, а равны лишь токи.

Munin в сообщении #1062514 писал(а):

Проблемы вот в этой фразе.

В этой фразе нет никаких проблем. Это всего лишь пересказ закона сохранения лоренцева момента: если система имеет импульс P и энергию E, то ее центр масс движется со скоростью P/E.

Дальше не понял, какая-то муть. Предполагалось, что участники поломают голову над решением парадокса. Решение парадокса --- это когда вы указываете, что не учтено, и предоставляете правильный расчет с учетом этого неучтенного, расчет, в котором все сходится.

А пока то, что я читаю в вашем сообщении, выглядит так: "Если все правильно сосчитать, то никакого парадокса нет". Трудно спорить. Возможно, вы правы. Даже скорее всего. Да что там, наверняка! Но это --- не решение парадокса.

[Munin]

peregoudov в сообщении #1062547 писал(а):

Решение парадокса --- это когда вы указываете, что не учтено

Я указал, что не учтено. Правда, указал неправильно. AnatolyBa указал гораздо лучше.

Но не замечать этого - нехорошо.

[peregoudov]

Ну, я вообще нехороший человек, вы же знаете.

Если вы не знаете, как решить парадокс, ничего тут страшного нет: тема и начата для того, чтобы у участников был повод подумать головой, а не просто выдать одну из заученных фраз.

[DimaM]

peregoudov в сообщении #1062469 писал(а):

Потому что закон сохранения электрического заряда.

Закон сохранения электрического заряда что?
Сдается мне, что плотности электронов в проводах будут разными.
Кстати, чтобы лишний раз не забивать себе голову, можно гонять не электроны по проводам, а воду по трубам различного диаметра.

[Munin]

peregoudov в сообщении #1062645 писал(а):

Если вы не знаете, как решить парадокс, ничего тут страшного нет

Если вы не заметили, что знаю, ничего тут страшного тоже нет. Но вот хамить - это уже нехорошо.