Вероятность и шахматная доска

[Tosha]

На шахматной доске $n\times n$ случайно размещают $n$ ладей.

1) Найти вероятность того, что ладьи не бьют друг друга.

2) Найти вероятность того, что ладьи не бьют друг друга и при этом на главной диагонали нет никаких фигур.

1) $\dfrac{(n-1)!}{n^{n-1}}$

2) Вероятность того, что на главной диагонали нет фигур равна $\dfrac{n^2-n}{n^2}$.

Вероятность того, что ладьи не бьют друг друга и при этом на главной диагонали нет никаких фигур.

Это два зависимых события. Тут вероятность его не будет равно просто произведению соответствующих вероятностей, здесь все чуть сложнее. Но как тут поступить?

Правильно ли выполнен пункт 1) ?

[provincialka]

Объясните, как получен ответ в п. 1
Кстати, в условии задачи есть некоторая неопределенность: могли ли две ладьи попасть на одну и ту же клетку? Подозреваю, что нет!

[Tosha]

Спасибо!

Вот мы поставили первую ладью в одну из клеток.

Вторая ладья может встать в одну из $n^2-n-(n-1)=(n-1)^2$ клеток.

Третья ладья может встать в одну из $(n-1)^2-(n-1)-(n-2)=(n-2)^2$ клеток.

$k$-ая ладья может встать в одну из $(n-k)^2$ клеток.

Тогда количество способов поставить $n$ ладей так, чтобы они не били друг друга будет равно $2^2\cdot 3^2\cdot...\cdot (n-1)^2}$

Вероятность $\dfrac{2^2\cdot 3^2\cdot...\cdot (n-1)^2}{n^2}$

Правильно?

[iancaple]

Это Вы пункт 1 для пронумерованных ладей решали (и там все равно ошибки), а в жизни они неразличимы. Лучше задаться вопросами: сколько есть способов поставить одну ладью в первой горизонтали? А после этого во второй?
А в пункте 2 понадобится субфакториал

[provincialka]

iancaple в сообщении #1061605 писал(а):

Это Вы пункт 1 для пронумерованных ладей решали

А разве нельзя? Какая разница? Ответ получается тот же.
Tosha Как вы получили знаменатель? Вот, например, сколько есть мест, чтоб поставить первую ладью? Вторую? Третью? С учетом того, что две ладьи не могут попасть на одну клетку.

Может, вам лучше воспользоваться формулой умножения вероятностей? (хотя большой разницы нет).

[Tosha]

Спасибо!

$\dfrac{2^2\cdot 3^2\cdot...\cdot (n-1)^2}{(n^2-1)(n^2-2)...(n^2-(n-1))}$

Как-то так вроде!

[provincialka]

Tosha
У меня так же получилось.

[Tosha]

provincialka в сообщении #1061640 писал(а):

Tosha
У меня так же получилось.

Спасибо большое!

[ewert]

Tosha в сообщении #1061541 писал(а):

1) Найти вероятность того, что ладьи не бьют друг друга.

iancaple в сообщении #1061605 писал(а):

Лучше задаться вопросами: сколько есть способов поставить одну ладью в первой горизонтали? А после этого во второй?

Лучше не задаваться. Это же в лоб делается: $\frac{n!}{C_{n^2}^{n}}$. Тем более что Вы знаете, что дальше субфакториал.

[мат-ламер]

Tosha в сообщении #1061541 писал(а):

здесь все чуть сложнее

А вторая задача действительно чуть сложнее. Ну и как? Кстати, у доски две диагонали.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #1061795 писал(а):

Кстати, у доски две диагонали.

Тогда добавляется дополнительное занудство; хоть и не смертельное, но надоедливое. Я практически уверен, что сочинители задачки имели в виду только "главную" диагональ, а о другой попросту забыли. Они ж математики!

(Оффтоп)

Кстати, в шахматах понятие диагоналей (которые "главные" не важно в каком смысле) вроде бы и вообще не нужно. Оно существенно в шашках; но там, к сожалению нет ни ладей, ни даже тур.

[TOTAL]

Tosha в сообщении #1061541 писал(а):

2) Вероятность того, что на главной диагонали нет фигур равна $\dfrac{n^2-n}{n^2}$.

Вероятность того, что ладьи не бьют друг друга и при этом на главной диагонали нет никаких фигур.

Это два зависимых события. Тут вероятность его не будет равно просто произведению соответствующих вероятностей, здесь все чуть сложнее. Но как тут поступить?

Например, можно обозначить число благоприятных исходов для доски $n \times n$ как $Q_n$ и решить уравнение
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}C_n^k Q_{n-k} = n! , \;\;\; Q_n = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}k! C_n^k$.