2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вероятность и шахматная доска
Сообщение12.10.2015, 00:12 


10/09/13
210
На шахматной доске $n\times n$ случайно размещают $n$ ладей.

1) Найти вероятность того, что ладьи не бьют друг друга.

2) Найти вероятность того, что ладьи не бьют друг друга и при этом на главной диагонали нет никаких фигур.

1) $\dfrac{(n-1)!}{n^{n-1}}$

2) Вероятность того, что на главной диагонали нет фигур равна $\dfrac{n^2-n}{n^2}$.

Вероятность того, что ладьи не бьют друг друга и при этом на главной диагонали нет никаких фигур.

Это два зависимых события. Тут вероятность его не будет равно просто произведению соответствующих вероятностей, здесь все чуть сложнее. Но как тут поступить?

Правильно ли выполнен пункт 1) ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и шахматная доска
Сообщение12.10.2015, 01:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Объясните, как получен ответ в п. 1
Кстати, в условии задачи есть некоторая неопределенность: могли ли две ладьи попасть на одну и ту же клетку? Подозреваю, что нет!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и шахматная доска
Сообщение12.10.2015, 02:37 


10/09/13
210
Спасибо!

Вот мы поставили первую ладью в одну из клеток.

Вторая ладья может встать в одну из $n^2-n-(n-1)=(n-1)^2$ клеток.

Третья ладья может встать в одну из $(n-1)^2-(n-1)-(n-2)=(n-2)^2$ клеток.

$k$-ая ладья может встать в одну из $(n-k)^2$ клеток.

Тогда количество способов поставить $n$ ладей так, чтобы они не били друг друга будет равно $2^2\cdot 3^2\cdot...\cdot (n-1)^2}$

Вероятность $\dfrac{2^2\cdot 3^2\cdot...\cdot (n-1)^2}{n^2}$

Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и шахматная доска
Сообщение12.10.2015, 06:31 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Это Вы пункт 1 для пронумерованных ладей решали (и там все равно ошибки), а в жизни они неразличимы. Лучше задаться вопросами: сколько есть способов поставить одну ладью в первой горизонтали? А после этого во второй?
А в пункте 2 понадобится субфакториал

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и шахматная доска
Сообщение12.10.2015, 08:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
iancaple в сообщении #1061605 писал(а):
Это Вы пункт 1 для пронумерованных ладей решали
А разве нельзя? Какая разница? Ответ получается тот же.
Tosha Как вы получили знаменатель? Вот, например, сколько есть мест, чтоб поставить первую ладью? Вторую? Третью? С учетом того, что две ладьи не могут попасть на одну клетку.

Может, вам лучше воспользоваться формулой умножения вероятностей? (хотя большой разницы нет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и шахматная доска
Сообщение12.10.2015, 09:41 


10/09/13
210
Спасибо!

$\dfrac{2^2\cdot 3^2\cdot...\cdot (n-1)^2}{(n^2-1)(n^2-2)...(n^2-(n-1))}$

Как-то так вроде!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и шахматная доска
Сообщение12.10.2015, 09:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Tosha
У меня так же получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и шахматная доска
Сообщение12.10.2015, 09:46 


10/09/13
210
provincialka в сообщении #1061640 писал(а):
Tosha
У меня так же получилось.

Спасибо большое!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и шахматная доска
Сообщение12.10.2015, 14:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Tosha в сообщении #1061541 писал(а):
1) Найти вероятность того, что ладьи не бьют друг друга.

iancaple в сообщении #1061605 писал(а):
Лучше задаться вопросами: сколько есть способов поставить одну ладью в первой горизонтали? А после этого во второй?

Лучше не задаваться. Это же в лоб делается: $\frac{n!}{C_{n^2}^{n}}$. Тем более что Вы знаете, что дальше субфакториал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и шахматная доска
Сообщение12.10.2015, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Tosha в сообщении #1061541 писал(а):
здесь все чуть сложнее

А вторая задача действительно чуть сложнее. Ну и как? Кстати, у доски две диагонали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и шахматная доска
Сообщение12.10.2015, 22:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
мат-ламер в сообщении #1061795 писал(а):
Кстати, у доски две диагонали.

Тогда добавляется дополнительное занудство; хоть и не смертельное, но надоедливое. Я практически уверен, что сочинители задачки имели в виду только "главную" диагональ, а о другой попросту забыли. Они ж математики!

(Оффтоп)

Кстати, в шахматах понятие диагоналей (которые "главные" не важно в каком смысле) вроде бы и вообще не нужно. Оно существенно в шашках; но там, к сожалению нет ни ладей, ни даже тур.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и шахматная доска
Сообщение13.10.2015, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Tosha в сообщении #1061541 писал(а):
2) Вероятность того, что на главной диагонали нет фигур равна $\dfrac{n^2-n}{n^2}$.

Вероятность того, что ладьи не бьют друг друга и при этом на главной диагонали нет никаких фигур.

Это два зависимых события. Тут вероятность его не будет равно просто произведению соответствующих вероятностей, здесь все чуть сложнее. Но как тут поступить?

Например, можно обозначить число благоприятных исходов для доски $n \times n$ как $Q_n$ и решить уравнение
$\displaystyle  \sum_{k=0}^{n}C_n^k Q_{n-k} = n! , \;\;\; Q_n = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}k! C_n^k$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group