Вывернутая ручка

[Mikhail_K]

Бутылку Клейна можно представить как сферу с двумя плёнками Мёбиуса, или же как сферу с одной вывернутой ручкой.
В первом случае выбрасываем из сферы два круга, у каждого из них в отдельности отождествляем противоположные точки.
Во втором случае опять же выбрасываем из сферы два круга, задаём на них одинаковое направление обхода, и отождествляем соответствующие точки этих двух кругов.
Мне хотелось бы визуально представить, как первое представление деформируется во второе.
То есть, что нужно делать с двумя плёнками Мёбиуса, чтобы превратить их в вывернутую ручку, или наоборот. Что с ними происходит? Может, их надо протащить друг через друга, или ещё что?

Хотелось бы, чтобы эта деформация затрагивала только окрестность обоих кругов, а не всю бутылку. Ведь и не только на бутылке Клейна, но и на других неориентируемых поверхностях вывернутая ручка может быть превращена в две плёнки Мёбиуса.

Как может выглядеть ответ на этот мой вопрос? Ну, например, я могу себе представить, как при прохождении через плёнку Мёбиуса обычная ручка превращается в вывернутую. Обычная ручка - это когда из сферы выбрасываем два круга, ставим на них противоположное направление обхода и отождествляем. Легко видеть, что при протаскивании одного из этих кругов через плёнку Мёбиуса он меняет ориентацию, в результате направления обхода становятся одинаковыми, а это у нас вывернутая ручка. Какое-нибудь такое же объяснение я хотел бы иметь для вопроса с вывернутой ручкой и двумя плёнками Мёбиуса.

-- 10.10.2015, 15:09 --

Гм. Вполне вероятно, что я не прав и требуемая деформация нелокальна, то есть должна затрагивать всю поверхность.

[Mikhail_K]

Упростим задачу. Я хочу понять, почему бутылка Клейна разрезается на два листа Мёбиуса.
Если бутылку Клейна представлять как квадрат с отождествлёнными сторонами, то это понятно и видно.
Тем более если её представлять как сферу с двумя плёнками Мёбиуса)
А если как сферу с двумя выкинутыми кругами, границы которых отождествляются - не вижу, почему.

-- 10.10.2015, 16:05 --

Разобрался немного.
Кое-какое визуальное представление я себе составил, так что вопрос теряет остроту.
Тем не менее, если у кого-то есть что-то сказать, с благодарностью выслушаю.

[GDTD]

Сфера с двумя вклеенными листами Мёбиуса эквивалентна сфере с двумя дырками, в каждой из которых отождествляются диаметрально противоположные точки. Далее делается разрез вдоль отрезка, идущего от точки первой дырки к точке второй дырки. Получится шестиугольник, в котором надо отметить, какие стороны и как соответствуют друг другу. После этого догадайтесь, как в одной действие получить бутылку Клейна (цилиндр, из которого она получается соответствующим отождествлением точек края).

[Mikhail_K]

Я разобрался в вопросе, но я действовал по-другому.
Как от шестиугольника "в одно действие" перейти к цилиндру - увы, не вижу.
Перепроверьте, может, это у Вас где-то ошибка?

[GDTD]

Mikhail_K в сообщении #1061102 писал(а):

Я разобрался в вопросе, но я действовал по-другому.
Как от шестиугольника "в одно действие" перейти к цилиндру - увы, не вижу.
Перепроверьте, может, это у Вас где-то ошибка?

Такие задачи решаются одним методом: делаются разрезы на поверхности, чтобы получить многоугольник, в котором стрелками указывается соответствие сторон. После этого многоугольник перекраивается, чтобы получился канонический многоугольник. Деформациями такие задачи не решаются.

Ошибок нет.

[Munin]

У меня получается в два действия:
$\xymatrix{\bullet&\bullet\ar[l]_{a}&\bullet\ar[l]_{a}\\\bullet\ar[u]^{c}\ar[r]_{b}&\bullet\ar[r]_{b}&\bullet\ar[u]_{c}}$

$\xymatrix{\bullet&&\bullet\ar[ll]_{a}&&\bullet\ar[ll]_{a}\\&L&&R&\\\bullet\ar[uu]^{c}\ar[rr]_{b}&&\bullet\ar[rr]_{b}\ar[uu]_{d}&&\bullet\ar[uu]_{c}}$

$\xymatrix{\bullet\ar[rr]^{b}\ar[dd]_{d}&&\bullet\ar[dd]^{c}\ar@/^20/[dddd]^{e}\\&R&\\\bullet&&\bullet\ar[ll]_{a}\\&L&\\\bullet\ar[uu]^{c}\ar[rr]_{b}\ar@/^20/[uuuu]^{e}&&\bullet\ar[uu]_{d}}$

$\xymatrix{\bullet\ar[r]^{b}&\bullet\ar[dd]^{e}\\\\\bullet\ar[uu]^{e}\ar[r]_{b}&\bullet}$

[Mikhail_K]

Munin, спасибо. Вот я о том и говорю, что не в одно)
GDTD, это понятно. Под "деформацией" я понимаю любой переход к гомеоморфному объекту, в том числе к эквивалентной развёртке)