2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вывернутая ручка
Сообщение10.10.2015, 14:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Бутылку Клейна можно представить как сферу с двумя плёнками Мёбиуса, или же как сферу с одной вывернутой ручкой.
В первом случае выбрасываем из сферы два круга, у каждого из них в отдельности отождествляем противоположные точки.
Во втором случае опять же выбрасываем из сферы два круга, задаём на них одинаковое направление обхода, и отождествляем соответствующие точки этих двух кругов.
Мне хотелось бы визуально представить, как первое представление деформируется во второе.
То есть, что нужно делать с двумя плёнками Мёбиуса, чтобы превратить их в вывернутую ручку, или наоборот. Что с ними происходит? Может, их надо протащить друг через друга, или ещё что?

Хотелось бы, чтобы эта деформация затрагивала только окрестность обоих кругов, а не всю бутылку. Ведь и не только на бутылке Клейна, но и на других неориентируемых поверхностях вывернутая ручка может быть превращена в две плёнки Мёбиуса.

Как может выглядеть ответ на этот мой вопрос? Ну, например, я могу себе представить, как при прохождении через плёнку Мёбиуса обычная ручка превращается в вывернутую. Обычная ручка - это когда из сферы выбрасываем два круга, ставим на них противоположное направление обхода и отождествляем. Легко видеть, что при протаскивании одного из этих кругов через плёнку Мёбиуса он меняет ориентацию, в результате направления обхода становятся одинаковыми, а это у нас вывернутая ручка. Какое-нибудь такое же объяснение я хотел бы иметь для вопроса с вывернутой ручкой и двумя плёнками Мёбиуса.

-- 10.10.2015, 15:09 --

Гм. Вполне вероятно, что я не прав и требуемая деформация нелокальна, то есть должна затрагивать всю поверхность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывернутая ручка
Сообщение10.10.2015, 15:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Упростим задачу. Я хочу понять, почему бутылка Клейна разрезается на два листа Мёбиуса.
Если бутылку Клейна представлять как квадрат с отождествлёнными сторонами, то это понятно и видно.
Тем более если её представлять как сферу с двумя плёнками Мёбиуса)
А если как сферу с двумя выкинутыми кругами, границы которых отождествляются - не вижу, почему.

-- 10.10.2015, 16:05 --

Разобрался немного.
Кое-какое визуальное представление я себе составил, так что вопрос теряет остроту.
Тем не менее, если у кого-то есть что-то сказать, с благодарностью выслушаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывернутая ручка
Сообщение10.10.2015, 16:08 


16/02/13
49
Сфера с двумя вклеенными листами Мёбиуса эквивалентна сфере с двумя дырками, в каждой из которых отождествляются диаметрально противоположные точки. Далее делается разрез вдоль отрезка, идущего от точки первой дырки к точке второй дырки. Получится шестиугольник, в котором надо отметить, какие стороны и как соответствуют друг другу. После этого догадайтесь, как в одной действие получить бутылку Клейна (цилиндр, из которого она получается соответствующим отождествлением точек края).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывернутая ручка
Сообщение10.10.2015, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Я разобрался в вопросе, но я действовал по-другому.
Как от шестиугольника "в одно действие" перейти к цилиндру - увы, не вижу.
Перепроверьте, может, это у Вас где-то ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывернутая ручка
Сообщение10.10.2015, 18:07 


16/02/13
49
Mikhail_K в сообщении #1061102 писал(а):
Я разобрался в вопросе, но я действовал по-другому.
Как от шестиугольника "в одно действие" перейти к цилиндру - увы, не вижу.
Перепроверьте, может, это у Вас где-то ошибка?
Такие задачи решаются одним методом: делаются разрезы на поверхности, чтобы получить многоугольник, в котором стрелками указывается соответствие сторон. После этого многоугольник перекраивается, чтобы получился канонический многоугольник. Деформациями такие задачи не решаются.

Ошибок нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывернутая ручка
Сообщение10.10.2015, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
У меня получается в два действия:
$\xymatrix{\bullet&\bullet\ar[l]_{a}&\bullet\ar[l]_{a}\\\bullet\ar[u]^{c}\ar[r]_{b}&\bullet\ar[r]_{b}&\bullet\ar[u]_{c}}$

$\xymatrix{\bullet&&\bullet\ar[ll]_{a}&&\bullet\ar[ll]_{a}\\&L&&R&\\\bullet\ar[uu]^{c}\ar[rr]_{b}&&\bullet\ar[rr]_{b}\ar[uu]_{d}&&\bullet\ar[uu]_{c}}$

$\xymatrix{\bullet\ar[rr]^{b}\ar[dd]_{d}&&\bullet\ar[dd]^{c}\ar@/^20/[dddd]^{e}\\&R&\\\bullet&&\bullet\ar[ll]_{a}\\&L&\\\bullet\ar[uu]^{c}\ar[rr]_{b}\ar@/^20/[uuuu]^{e}&&\bullet\ar[uu]_{d}}$

$\xymatrix{\bullet\ar[r]^{b}&\bullet\ar[dd]^{e}\\\\\bullet\ar[uu]^{e}\ar[r]_{b}&\bullet}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывернутая ручка
Сообщение10.10.2015, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Munin, спасибо. Вот я о том и говорю, что не в одно)
GDTD, это понятно. Под "деформацией" я понимаю любой переход к гомеоморфному объекту, в том числе к эквивалентной развёртке)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group