MILLENNIUM PRIZE PROBLEM или бесплодная игра разума???

[Александр Козачок]

Уважаемые математики и все участники форума!
По поводу актуальности доказательства теорем существования решений дифференциальных уравнений известны авторитетные, но противоположные, позиции, а именно:
1. Математический институт Клея объявил такое доказательство важнейшей проблемой тысячелетия для уравнений Навье – Стокса (MILLENNIUM PRIZE PROBLEM) . Этой проблеме посвятили свои труды известные всему миру математики: О.А. Ладыженская и Ж.-Л. Лионс.
2. Знаменитый физик Л.Д. Ландау по поводу подобных теорем сказал: «я категорически считаю, что из математики, изучаемой физиками, должны быть полностью изгнаны всякие теоремы существования». Позиция знаменитого математика М. Клайна (M. Kline), автора книги «Математика. Утрата определенности (Mathematics. The Loss of Certainty)», фактически совпадает с позицией Л.Д. Ландау: «утратив за последние сто лет развития математики – становившейся все более чистой – остроту зрения, математики…обратились к такой далекой от приложений деятельности, как доказательство теорем существования решений дифференциальных уравнений, к аксиоматизации различных наук и к бесплодной игре разума».
А что Вы думаете по этому поводу? Можно ли состыковать эти полярные позиции?

С уважением, Александр Козачок

[Попов А.В.]

Обычно физики видят математику только как инструмент, этакую "служанку физики", и отсюда проистекает соответствующее непонимание "чистой" математики.
Теоремы существования в большинстве случаев не дают приемлемого алгоритма построения решения задачи (часто вообще не дают никакого алгоритма), а потому физиков не особо трогают.

[Brukvalub]

Александр Козачок писал(а):

Знаменитый физик Л.Д. Ландау по поводу подобных теорем сказал: «я категорически считаю, что из математики, изучаемой физиками, должны быть полностью изгнаны всякие теоремы существования».

Одного не пойму - при чём здесь всякие физики с их мнениями?

Александр Козачок писал(а):

Позиция знаменитого математика М. Клайна (M. Kline), автора книги «Математика. Утрата определенности (Mathematics. The Loss of Certainty)», фактически совпадает с позицией Л.Д. Ландау

А чем же так знаменит этот "всем известный" математик? Что он такого фундаментального в математике наворочал?

[shwedka]

Brukvalub
Morris Kline (1908--1992)
37 публикаций, включая переводы (у меня заметно больше),
в том числе
Why the professor can't teach. Mathematics and the dilemma of university education.
Собственно по математике 5, если отождествить слабо различающиеся.

Ух, авторитет!!!

[Echo-Off]

Если физики не хотят принимать теоремы о существовании решения дифуров, ну и пусть не принимают. Меньше знать будут. И потом, у них, насколько мне известно, существование решения дифуров, реально встречающихся в природе, доказывается так: "Этот дифур описывает такой-то процесс. Процесс существует, значит, существует решение".

А вообще, взять хотя бы самую первую теорему о существовании решения обыкновенного ДУ $y'=f(x,y)$ при условии непрерывности $f$. Она доказывается вполне себе конструктивно: строится последовательность функций, равномерно приближающихся к решению. И чем это физикам не угодило...

[Brukvalub]

Echo-Off писал(а):

Она доказывается вполне себе конструктивно: строится последовательность функций, равномерно приближающихся к решению. И чем это физикам не угодило...

Есть и другие способы доказательства этой теоремы, например, с использованием теорем о неподвижных точках, которые неконструктивны...

[Freude]

Цитата:

Если физики не хотят принимать теоремы о существовании решения дифуров, ну и пусть не принимают.

Ну почему же, и для физиков это было бы весьма интересно, если бы попроще да поконструктивнее. Например, если есть диф. ур. с параметром, то интересно найти области значений этого параметра, при которых решения существуют и не существуют. Еще интерес представляет существование/несуществование для определенных классов фукнций. Например решение, может быть, не является аналитической функцией.

[shwedka]

Реально природа устроена так, что уравнения, входящие в математические модели, явных решений в известных элементарных и специальных функциях обычно не допускают. Коллеги, бездумно повторяющие замшелую физическую критику теорем существования, не имеют представления о том, что качественные математические методы выходят далеко за пределы существования. Приведу лишь короткий список.
1. свойства решений: гладкость; наличие, локализация, свойства сингулярностей. Уж такова природа, что решения оказываются негладкими (например, ударные волны или каустики), и эти особенности вполне доступны современным математическим методам.
2. Анализ зависимости от параметров: асимптотика по параметрам, бифуркации. среди прочего, топологический анализ нелинейных уравнений позволяет предсказать количесво решений.
3. Регуляризация. скажу точнее. В КТП тьма тьмущая расходящихся интегралов и сумм, без определенных правил обращения с ними. Современня математика разработала правила регуляризации таких расходимостей.
4. Групповой анализ. Применения теории групп (и абстрактой алгебры вообще) в физике, бывшие и 50 лет назад вполне ощутимыми, развились необычайно, за счет включения бесконечномерных (калибровочных) групп, алгебр и супералгебр Ли.

[Freude]

Цитата:

качественные математические методы выходят далеко за пределы существования. Приведу лишь короткий список.
1. свойства решений: гладкость; наличие, локализация, свойства сингулярностей. Уж такова природа, что решения оказываются негладкими (например, ударные волны или каустики), и эти особенности вполне доступны современным математическим методам.
2. Анализ зависимости от параметров: асимптотика по параметрам, бифуркации. среди прочего, топологический анализ нелинейных уравнений позволяет предсказать количесво решений.
3. Регуляризация. скажу точнее. В КТП тьма тьмущая расходящихся интегралов и сумм, без определенных правил обращения с ними. Современня математика разработала правила регуляризации таких расходимостей.
4. Групповой анализ. Применения теории групп (и абстрактой алгебры вообще) в физике, бывшие и 50 лет назад вполне ощутимыми, развились необычайно, за счет включения бесконечномерных (калибровочных) групп, алгебр и супералгебр Ли.

Это вы к чему? Очевидно, по-моему, что качественный анализ существенно обогащает мат. аппарат физика.

[shwedka]

Freude писал(а):

Это вы к чему? Очевидно, по-моему, что качественный анализ существенно обогащает мат. аппарат физика.

Ето Вам очевидно,
а толпами ходят недоучки, заявляющие, что если математика не дает число, то ату ее!!!

[Yarkin]

shwedka писал(а):

а толпами ходят недоучки, заявляющие, что если математика не дает число, то ату ее!!!

Число нужно математикам, а физикам - его физический смысл, тогда они его примут с удовольствием.

[shwedka]

Yarkin писал(а):

Число нужно математикам

Со специалистом спорить трудно.

Мои шведские студенты, испорченные шведскимм образованием, где, скажем, логарифм как функция отождествляется с кнопочкой на калькуляторе, логарифмом помеченной,
балдеют, когда я им заявляю, что на экзамене по ур. в частн. произв. МОЖНО пользоваться калькулятором, хотя и не поможет. Шведская традиция заставляет моих шведских коллег запрещать пользовться калькулятором на экзамене по теории групп. Вот так-то, коллега Yarkin, математикам число сильно нужно!!!

[Nigilist]

Yarkin

Цитата:

Число нужно математикам, а физикам - его физический смысл, тогда они его примут с удовольствием

История говорит об обратном - чаще математики дают физикам понять физический смысл
.Тут не об удовольствии говорить надо , а о благодарности.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Вот так-то, коллега Yarkin, математикам число сильно нужно!!!

Спасибо за обращение. Мечтаю, что когда-нибудь и bot обратиться ко мне также. С коллегами дискусировать приятно, не то, что с оппонентами. А вот, что мы видим в калькуляторе - число, цифры или изображение числа и что существует - я не знаю. А с Вашим выводом я согласен.

Nigilist писал(а):

История говорит об обратном - чаще математики дают физикам понять физический смысл

Вывод спорный.

Nigilist писал(а):

Тут не об удовольствии говорить надо , а о благодарности.

Тогда физики примут его с благодарностью.

[bot]

Yarkin писал(а):

Спасибо за обращение. Мечтаю, что когда-нибудь и bot обратиться ко мне также. С коллегами дискусировать приятно, не то, что с оппонентами.

Трудно устоять, если можно кому-то доставить удовольствие. С оппонентами тоже общаться можно. У нас ведь как в деревне бывало? Сначала бьёмся до первой крови, а потом один другого до дома провожает, чтобы подтвердить, что он с дуба нечаянно свалился.

Цитата:

А вот, что мы видим в калькуляторе - число, цифры или изображение числа и что существует - я не знаю

Коллега Yarkin, в тех редких случаях, когда беру в руки калькулятор и нажимаю кнопку, я надеюсь, что на экране увижу число, или будь по-вашему - его изображение, а не рекламу или Петросяна, иначе бы и кнопку нажимать не стал. До сих пор никаких обломов не было, если только мои желания не превосходили его возможностей.