Бра-кет формализм. Литература.

[tech]

Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста, по какой книге можно изучить бра и кеты быстро и качественно?
Мне советовали Дирака "Принципы квантовой механики", но там совсем не быстро.

[Munin]

А что значит "изучить бра-кеты"?

Если вы знаете линейную алгебру, то там вообще изучать нечего. Они однозначно аналогичны векторам-строкам, векторам столбцам, и матрицам между ними в бутерброде.

Некоторую тонкость составляет разница между шрёдингеровским и гейзенберговским описанием времени. Но это есть в любой книге по КМ.

Книг в бра-кетах полно: Дирак, Ферми, Фейнман, Мессиа, Коэн-Таннуджи какой-нибудь, Иванов М.Г.

[Nemiroff]

«Дираковские обозначения в КМ»

Давно это было.

[physicsworks]

Если ТС сумеет подавить в себе неприязнь к несколько идиосинкразическим обозначениям автора, то очень советую почитать первую главу Sakurai "Quantum mechanics". Сейчас это практически стандартная книжка для upper level undergraduate and beginning graduate курсов в западных университетах. Кстати, после прочтения всего лишь первой ее главы у читателя отпадут вопросы похожие на те, ссылку на которые привел выше Nemiroff.

[Theoristos]

Наивный вопрос, а Феймановские Лекции чем плохи?

[Munin]

Имхо, хороши.

[tech]

Munin в сообщении #1060367 писал(а):

А что значит "изучить бра-кеты"?

Я имел в виду самые основы.
Я смотрел, как можно получить собственные значения и собственные функции гамильтониана гармонического осциллятора с помощью операторов рождения и уничтожения, и там встретилось такое соотношение:
"$\langle x | p | \psi \rangle=-i\hbar \frac{d}{dx} \langle x | \psi \rangle$"
Ну, и я его не понял.
Наверное, было бы неплохо также иметь перед собой книгу по квантовой механике, целиком изложенную на этом языке. Я слышал, что бра-кет нотация – полезная штука.

physicsworks в сообщении #1060394 писал(а):

Если ТС сумеет подавить в себе неприязнь к несколько идиосинкразическим обозначениям автора, то очень советую почитать первую главу Sakurai "Quantum mechanics".

Спасибо, погляжу.

[physicsworks]

tech в сообщении #1060589 писал(а):

Я смотрел, как можно получить собственные значения и собственные функции гамильтониана гармонического осциллятора с помощью операторов рождения и уничтожения, и там встретилось такое соотношение:
"$\langle x | p | \psi \rangle=-i\hbar \frac{d}{dx} \langle x | \psi \rangle$"
Ну, и я его не понял.
Наверное, было бы неплохо также иметь перед собой книгу по квантовой механике, целиком изложенную на этом языке. Я слышал, что бра-кет нотация – полезная штука.

все это вы найдете в Sakurai. Он как раз написан, что называется, на современном языке.

[Munin]

tech в сообщении #1060589 писал(а):

Я смотрел, как можно получить собственные значения и собственные функции гамильтониана гармонического осциллятора с помощью операторов рождения и уничтожения, и там встретилось такое соотношение:
"$\langle x | p | \psi \rangle=-i\hbar \frac{d}{dx} \langle x | \psi \rangle$"
Ну, и я его не понял.

И где вы его встретили? Конкретнее.

Я вот его тоже не понимаю. Потому что не могу посмотреть выше по тексту, какие введены обозначения. Скорее всего, речь идёт о соотношении $\hat{p}=-i\hbar\dfrac{d}{dx},$ определяющем оператор импульса в координатном представлении. Ну, его тут можно так "выудить": $\langle x|\psi\rangle=\psi(x),$ волновая функция в координатном представлении.
$\langle x|p|\psi\rangle=\hat{p}\psi(x),$ то есть, та же функция, после действия оператора импульса.

Но вообще, я бы записал иначе: $\langle x|p|\psi\rangle=\langle x|\Bigl(-i\hbar\dfrac{d}{dx}\Bigr)|\psi\rangle.$ Потому что нехорошо писать оператор вне бра-кет скобочек. Тот, кто писал это соотношение, видимо, исходил из того соображения, что правее от символа $\dfrac{d}{dx}$ должно быть что-то содержащее переменную $x.$ Но это правило тут применять неудачно: переменная здесь скорее не аргумент функции, а оператор координаты.

----------------

Книги на этом языке я вам уже перечислил.

Конкретно по квантованию гармонического осциллятора рекомендую Мессиа. Там это последняя глава 1-го тома. Там именно лестничные операторы.

Для осциллятора самого по себе лестничные операторы называются повышающим и понижающим, и обозначаются $a^+,a^-.$
А для квантового поля лестничные операторы называются операторами рождения и уничтожения, и обозначаются $a^+,a$ (в другом варианте $a^\dag,a$).
Дело в том, что в поле эти операторы, вообще-то, происходят из вторичного квантования. Именно оно придаёт смысл понятиям "рождение" и "уничтожение". Во вторичном квантовании самом по себе они могут вообще не быть связаны между собой осцилляторными коммутационными соотношениями.

[tech]

Munin в сообщении #1060634 писал(а):

И где вы его встретили? Конкретнее.

Это был параграф с названием "Harmonic oscillators" в книге Quantum Field Theory for the Gifted Amateur, Lancaster, Blundell (не спрашивайте, как я туда попал).
Кажется, я понял, что это значит. $|\psi \rangle$ – вектор состояния. $\langle x|\psi \rangle=\psi(x)$ – волновая функция в координатном представлении.
Соответственно, $\langle x|p|\psi \rangle=\langle x|\varphi \rangle$, где $|\varphi \rangle=p|\psi \rangle$, и $\langle x|p|\psi \rangle=\varphi (x)$.

Суть соотношения в том, что $\varphi(x)=-i\hbar \frac{d}{dx} \psi(x)$. То есть это очевидно как бы.

-- 08.10.2015, 23:19 --

Munin в сообщении #1060634 писал(а):

Но вообще, я бы записал иначе: $\langle x|p|\psi\rangle=\langle x|\Bigl(-i\hbar\dfrac{d}{dx}\Bigr)|\psi\rangle.$ Потому что нехорошо писать оператор вне бра-кет скобочек. Тот, кто писал это соотношение, видимо, исходил из того соображения, что правее от символа $\dfrac{d}{dx}$ должно быть что-то содержащее переменную $x.$ Но это правило тут применять неудачно: переменная здесь скорее не аргумент функции, а оператор координаты.

А мне, наоборот, теперь понятней запись $\frac{d}{dx} \langle x| \psi \rangle$, потому что это $\frac{d}{dx} \psi(x)$. По крайней мере, это вещь простая. А что такое оператор, действующий на вектор состояния $|\Psi \rangle$ дифференцированием по оператору $x$, не совсем понятно.

[arseniiv]

Не по оператору. $\psi$ ведь у нас функция одной/нескольких переменных? Вот по одной (первой) из них. Если вдруг аргумент $\psi$ имеет смысл импульса, то от её фурье-прообраза. И т. п.. По оператору функцию никак не получится продифференцировать — если только оператор по функции.

[tech]

Возможно, я неправильно понял Munin

Munin в сообщении #1060634 писал(а):

Но это правило тут применять неудачно: переменная здесь скорее не аргумент функции, а оператор координаты.

[Munin]

tech в сообщении #1060659 писал(а):

Это был параграф с названием "Harmonic oscillators" в книге Quantum Field Theory for the Gifted Amateur, Lancaster, Blundell (не спрашивайте, как я туда попал).

Хорошо, не буду спрашивать. Но дам совет: сначала изучаете КМ, а потом уже лезете в КТП. Вторая теория сильно сложнее первой, и сильно основана на ней как на фундаменте.

Ну, как бы сравнить... Вот представьте себе, с одной стороны, дифференцирование, а с другой стороны, дифференциальные уравнения. Если вы ещё не разобрались, что такое производная, то дифуры читать рановато: ничего не поймёте. Согласны?

tech в сообщении #1060659 писал(а):

Кажется, я понял, что это значит. $|\psi \rangle$ – вектор состояния. $\langle x|\psi \rangle=\psi(x)$ – волновая функция в координатном представлении.

Ну, в буквальном смысле, $\langle\varphi|\psi\rangle=\int\varphi^*\psi\,dx.$ Это даже в ЛЛ-3 написано, хотя сам Ландафшиц написан в традиционных функциональных обозначениях.

Но вот состояние $|x\rangle$ - это базисное состояние в координатном представлении, так что отсюда и получается, что $\langle x|\psi\rangle=\psi(x)$ при любом фиксированном $x.$

tech в сообщении #1060659 писал(а):

А что такое оператор, действующий на вектор состояния $|\Psi \rangle$ дифференцированием по оператору $x$, не совсем понятно.

Скажем так. Действительно, "дифференцирование по оператору" здесь не подходит (хотя этим словам, может быть, и можно придать смысл... но не будем этого делать). Но $\dfrac{d}{dx}$ нужно воспринимать как единый символ, и в таком смысле - как оператор, действующий на вектор состояния. Он осуществляет дифференцирование по $x,$ но для этого не требуется, чтобы вектор был в $x$-представлении. В другом представлении и сам оператор изменится, вот и всё.

[arseniiv]

tech в сообщении #1060677 писал(а):

Возможно, я неправильно понял Munin

Munin в сообщении #1060634 писал(а):

Но это правило тут применять неудачно: переменная здесь скорее не аргумент функции, а оператор координаты.

$\langle x\rvert$ — это линейный функционал, выбирающий какое-то данное значение $\psi$ в $x$, так что $\langle x\vert\psi\rangle$ можно считать функцией $x$ (как и функцией $\psi$), и отображение $\psi\mapsto(x\mapsto\langle x\vert\psi\rangle)$ есть линейное отображение (не всегда именно оператор) из пространства, из которого берутся $\psi$, в пространство координатных представлений этих $\psi$ (притом мы можем $\psi$ взять как функции импульса и как что угодно ещё).

[physicsworks]

Подействуем инфинитезимальным оператором трансляции на произвольное состояние:
$\displaystyle \hat{T}(\Delta)|\alpha\rangle \equiv \left(1-\frac{i \hat{p} \cdot \Delta}{\hbar}\right) |\alpha\rangle = \int dx \, \hat{T} (\Delta) |x\rangle \langle x|\alpha\rangle = \int dx |x+\Delta\rangle \langle x| \alpha \rangle = \int dx |x \rangle \langle x - \Delta| \alpha \rangle = \int dx |x \rangle \left( \langle x| \alpha \rangle - \Delta \frac{\partial}{\partial x} \langle x|\alpha\rangle \right)$
откуда
$\displaystyle \hat{p}|\alpha\rangle =-i \hbar \int dx |x\rangle \frac{\partial}{\partial x} \langle x|\alpha\rangle$
и, наконец, используя ортогональность,
$\displaystyle \langle x|\hat{p}|\alpha\rangle = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \langle x|\alpha\rangle$.