Переменная плотность тела

[soulstealer]

Здравствуйте, помогите пожалуйста с задачей, правильно ли я понял:
Определить массу неоднородного круглого конуса с радиусом основания R и высотой h, если плотность в каждой точке тела прямо пропорциональна расстоянию проекции точки на основание до оси симметрии конуса.

$$\iiint\limits_{ T }\rho (x,y,z)dxdydz=4\int\limits_{0}^{ \pi \!\!\not{\phantom{|}}\,2}\cos\varphi d \varphi \int\limits_{0}^{R}r^{2}dr\int\limits_{0}^{h}dz$$

т.е. плотность равна $\rho (x,y,z)=r\cos \varphi$
После чего переходим в цилиндрические координаты и решаем
Но такое что-то я делаю не так.. должен быть в ответе пи(ответа у меня нет, это предположение), т.к. это конус, а его нет

[levtsn]

можно свести к интегралу по одной переменной

[iifat]

«Коли конус, должно быть $\pi$» — эта логика от меня как-то ускользает.
И вот почему вдруг все пределы постоянны — ещё одна загадка. Как вместо цилиндра вы умудрились получить конус? Да, и ещё:

soulstealer в сообщении #1059273 писал(а):

$\rho (x,y,z)=r\cos\varphi$

не поясните?
Кстати, мелочь, конечно, но я в цитате подправил косинус. Он пишется так: \cos

[TOTAL]

soulstealer в сообщении #1059273 писал(а):

Определить массу неоднородного круглого конуса с радиусом основания R и высотой h, если плотность в каждой точке тела прямо пропорциональна расстоянию проекции точки на основание до оси симметрии конуса.

Для определения массы нужно знать плотность, а плотность неизвестна.

[soulstealer]

iifat
Тогда, если уравнение поверхности конуса взять как
$z=\frac{H}{R}\sqrt{x^2+y^2}$
И то, что он ограничен плоскостью $z=H$, то получим объем
$V=4\int\limits_{0}^{\pi/2}d\varphi\int\limits_{0}^{R}rdr\int\limits_{\frac{H}{R}r}^{H}dz$

-- 05.10.2015, 16:02 --

Так получается?

-- 05.10.2015, 16:18 --

А разве плотность тела не так определяется? Расстояние проекции на основание до оси симметрии, получается прямоугольный треугольник, гипотенуза равна $r$, проецируем на основание, и получится что плотность в каждой точке равна:
$\rho=r\cos \varphi$

[iifat]

По крайней мере, $z$ таки зависит от $r$, что уже некий несомненный прогресс.

soulstealer в сообщении #1059309 писал(а):

Расстояние проекции на основание до оси симметрии

А вот с этим у вас таки проблемы. Попробуйте взять точку $(x,y,z)$, записать её проекцию на плоскость $z=0$, выписать расстояние от центра и перевести его в цилиндрические координаты. Верю, у вас получится.

soulstealer в сообщении #1059309 писал(а):

А разве плотность тела не так определяется?

Например: тело выходит из точки О и движется равномерно и прямолинейно. Какое расстояние оно пройдёт за 5 секунд? В метрах!

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Все формулы должны полностью заключаться в пару долларов. Включая состоящие из одного символа обозначения. Как писать косинус, Вам уже сказали. Исправьте все свои сообщения, пожалуйста.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[soulstealer]

iifat в сообщении #1059339 писал(а):

По крайней мере, $z$ таки зависит от $r$, что уже некий несомненный прогресс.

soulstealer в сообщении #1059309 писал(а):

Расстояние проекции на основание до оси симметрии

А вот с этим у вас таки проблемы. Попробуйте взять точку $(x,y,z)$, записать её проекцию на плоскость $z=0$, выписать расстояние от центра и перевести его в цилиндрические координаты. Верю, у вас получится.

soulstealer в сообщении #1059309 писал(а):

А разве плотность тела не так определяется?

Например: тело выходит из точки О и движется равномерно и прямолинейно. Какое расстояние оно пройдёт за 5 секунд? В метрах!

Получается $r$
А расстояние пройдет $5V$

[soulstealer]

Тоесть, получится интеграл, который довольна легко вычислить:
$M=4\int\limits_{0}^{\pi/2}d\varphi\int\limits_{0}^{R}r^2dr\int\limits_{\frac{H}{R}r}^{H}dz$
Так я понял?

[iifat]

soulstealer в сообщении #1059377 писал(а):

А расстояние пройдет $5V$

Вот видите, вы понимаете, что кроме самого факта пропорциональности двух величин для конкретного вычисления одной по другой необходим ещё... Ы?

soulstealer в сообщении #1059418 писал(а):

Так я понял?

Похоже на правду, если вы правильно понимаете свою запись. Третий интеграл находится в зоне действия второго, только первый можно брать независимо.

[soulstealer]

iifat в сообщении #1059496 писал(а):

Вот видите, вы понимаете, что кроме самого факта пропорциональности двух величин для конкретного вычисления одной по другой необходим ещё... Ы?

Коэффициент пропорциональности, которого у меня нет?)
Получается:
$\rho=kr$, где $k$-коэффициент пропорциональности

[iifat]

Обязательно.

[soulstealer]

У меня получилось, что:
$M=\frac{\pi kHR^3}{6}$
Верно?

[iifat]

Да