Олимпиада НГУ - 2015

[bot]

1 тур (4 октября)

1 курс.

1. Из некоторых различных действительных чисел $x,y,z$ образовали три новых числа $x(2-y),\ y(2-z)$ и $z(2-x),$ которые все оказались не меньше 1.
Докажите, что хотя бы одно из исходных чисел отрицательно.

2. Для некоторой функции $f$ функция $\dfrac{f(x)}{x}$ невозрастающая в интервале $(0,\infty)$. Докажите, что

$$f(a+b) \leqslant f(a) + f(b)\ \ \text{для} \ \ a,b >0$$

3. У Маши есть воздушные шарики - не менее 35. Каждый из них белый, синий или красный. Известно, что среди любых 35 шариков есть не менее 12 белых, 8 синих и 4 красных шариков. Определите все возможности для числа шариков у Маши.

4. На плоскости расположены две параболы с взаимно перпендикулярными осями, имеющие хотя бы одну общую точку.
Докажите, что найдётся окружность, содержащая все точки пересечения парабол.

5. Для действительного числа $x$ символом $ \lfloor x\rfloor$ обозначают наибольшее целое число, не превосходящее $x.$ Докажите, что для любых натуральных $n$ справедливы равенства

$$\lfloor \sqrt{n}+ \sqrt{n+1}\rfloor=\lfloor\sqrt{4n+1}\rfloor=\lfloor\sqrt{4n+3}\rfloor.$$

2-4 курсы.

1. Докажите, что всякую $m\times n-$матрицу ранга $r$ можно разложить в произведение $m\times r-$матрицы и $r\times n-$матрицы.

2. Для целого $n$ вычислить интеграл $\int\limits_{0}^{2 \pi} \sin\, (\sin x + n x )\, dx$.

3. Исследуйте ряд $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt n\sin\sqrt2n}{n+1}$ на абсолютную и условную сходимость.

4. Найдите все непрерывные на $\mathbb R$ функции $f$, удовлетворяющие тождеству $f(x)=f(\sin x).$

5. Вычислите предел

$$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\left(\sum\limits_{k=1}^{2^n} \frac1k\right).$$

[iancaple]

bot в сообщении #1059036 писал(а):

2-4 курсы.

1. Докажите, что всякую $m\times n-$матрицу ранга $r$ можно разложить в произведение $m\times r-$матрицы и $r\times n-$матрицы.

$M_{mn}=M_{mr}M_{rn}$, где $M_{mr}$-композиция матриц гауссовых преобразований $r$ столбцов, содержащих нужный минор, к верхнетреугольному виду, а $M_{rn}$-матрица, приводящая то, что получится, преобразованиями строк к матрице, единичной в зоне расположения нужного минора, с нулями на остальных местах

Цитата:

2. Для целого $n$ вычислить интеграл $\int\limits_{0}^{2 \pi} \sin\, (\sin x + n x )\, dx$.

0,замена $t=2\pi-x$

Цитата:

3. Исследуйте ряд $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt n\sin\sqrt2n}{n+1}$ на абсолютную и условную сходимость.

Абсолютной нет, $M$-такое наибольшее число, что $\frac M{M-1}\sqrt 2>\frac{\pi}2$(кажется, это 10), тогда среди каждых $4M$ (40) подряд идущих номеров не менее $4(M-1)$ (16) таких, что $|\sin (n\sqrt 2)|>\frac 1{\sqrt 2}$
Условная есть, так как $\sum_{n=1}^N\sin (n\sqrt 2)$ задаются формулой и равномерно ограничены, а оставшийся множитель монотонно стремится к 0.

Цитата:

4. Найдите все непрерывные на $\mathbb R$ функции $f$, удовлетворяющие тождеству $f(x)=f(\sin x).$

Обозначим $\sin^{\circ n}x$ результат $n$- кратного взятия синуса. Он стремится к 0, отсюда по непрерывности $f(x)=f(0)$

Цитата:

5. Вычислите предел

$$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\left(\sum\limits_{k=1}^{2^n} \frac 1k\right).$$

Оцениваем сумму интегралом от $\frac 1x$ сверху и снизу, получаем предел $\ln 2$
Возможно, в решениях есть некоторая халтура, не проверял, олимпиада же

[NSKuber]

Всё верно, я так же решал

[kp9r4d]

iancaple в сообщении #1059090 писал(а):

$M_{mn}=M_{mr}M_{rn}$, где $M_{mr}$-композиция матриц гауссовых преобразований $r$ столбцов, содержащих нужный минор, к верхнетреугольному виду, а $M_{rn}$-матрица, приводящая то, что получится, преобразованиями строк к матрице, единичной в зоне расположения нужного минора, с нулями на остальных местах

Можно чуть концептуальнее, матрице ранга $r$ соответствует линейный оператор $A$ ранга $r$ который, в свою очередь, является композицией сюръективного оператора $\mathbb{R}^n \to \operatorname{Im}(A)$ и естественного вложения $\operatorname{Im}(A) \to \mathbb{R}^m$.

-- 05.10.2015, 13:37 --

iancaple в сообщении #1059090 писал(а):

Обозначим $\sin^{\circ n}x$ результат $n$- кратного взятия синуса. Он стремится к 0

Кстати, а если всё делать строго, то каким образом можно доказать этот факт?

[Deggial]

(kp9r4d)

kp9r4d в сообщении #1059287 писал(а):

Кстати, а если всё делать строго, то каким образом можно доказать этот факт?

тыц_один
тыц_два
тыц_три
тыц_четыре

[kp9r4d]

(Оффтоп)

Deggial
О, спасибо; да, вполне очевидно что подобная задача должна была уже обсуждаться на форуме, но в голову как-то не пришло.

[TOTAL]

kp9r4d в сообщении #1059287 писал(а):

Можно чуть концептуальнее, матрице ранга $r$ соответствует линейный оператор $A$ ранга $r$ который, в свою очередь, является композицией сюръективного оператора $\mathbb{R}^n \to \operatorname{Im}(A)$ и естественного вложения $\operatorname{Im}(A) \to \mathbb{R}^m$.

Еслим уж совсем концептуально: существуют $r$ столбцов, через линейную комбинацию которых выражается каждый столбец.

[iancaple]

Deggial в сообщении #1059305 писал(а):

kp9r4d в сообщении #1059287 писал(а):

Кстати, а если всё делать строго, то каким образом можно доказать этот факт?

тыц_один
тыц_два
тыц_три
тыц_четыре

По ссылкам все-таки более сложные вопросы ставятся. А на этой олимпиаде никого не перенапрягали: при $\sin x>0$ последовательность $\sin^{\circ n}x$ убывающая и положительная, значит, имеет предел $a$, удовлетворяющий $\sin a =a$. А если наоборот, то наоборот

[Deggial]

(iancaple)

iancaple в сообщении #1059590 писал(а):

По ссылкам все-таки более сложные вопросы ставятся. А на этой олимпиаде никого не перенапрягали: при $\sin x>0$ последовательность $\sin^{\circ n}x$ убывающая и положительная, значит, имеет предел $a$, удовлетворяющий $\sin a =a$.

Да, по теореме Вейерштрасса.
Просто я сразу вспомнил более точный вопрос и оставил ссылки для удовлетворения его любопытства.

[mihiv]

1 курс.

1.

Пусть $x=1+a_1, y=1+a_2, z=1+a_3$. После этой замены произведение трех новых чисел запишется в виде:$(1-a_1^2)(1-a_2^2)(1-a_3^2)\geqslant 1$. Отсюда следует, что одно из чисел $x,y,z$ отрицательно, а остальные два положительны.

[kp9r4d]

(Оффтоп)

TOTAL
По мне так не концептуальнее ни разу, так как ваши рассуждения почти что комбинаторные и не вскрывают истинную геометрическую природу такого разложения.
iancaple
Про теорему Вейерштрасса подумал сразу, но почему предел именно 0 - не подумал, как раз недавно задумывался о том - а существуют ли функции, итерации которых "не стабилизируются на первом предельном ординале", тобишь для которых $f^{ (\infty)}(x)$ существует и $f(f^{(\infty)}(x)) \neq f^{(\infty)}(x)$, чего-то не пришло в голову столь простое рассуждение.

[Sergic Primazon]

bot в сообщении #1059036 писал(а):

1 курс.

4. На плоскости расположены две параболы с взаимно перпендикулярными осями, имеющие хотя бы одну общую точку.
Докажите, что найдётся окружность, содержащая все точки пересечения парабол.

$$x^2+2ax+b=2cy, y^2+2dy+e=2fx $$

$$(x+a-f)^2+(y+d-c)^2=(a-f)^2+(d-c)^2-b-e $$

[mihiv]

1 курс
2.

Пусть $0<a<b$, тогда $\dfrac {f(a)}a\geqslant \dfrac {f(b)}b\qquad(1)$ и:

$$\dfrac {f(a+b)}{a+b}\leqslant \dfrac {f(b)}b$$

Следовательно:

$$f(a+b)\leqslant a\dfrac {f(b)}b+f(b)$$

И с учетом (1):

$$f(a+b)\leqslant f(a)+f(b)$$

[Padawan]

2-4 курс

bot в сообщении #1059036 писал(а):

3. Исследуйте ряд $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt n\sin\sqrt2n}{n+1}$ на абсолютную и условную сходимость.

На абсолютную сходимость -- стандартное неравенство

$$ |\sin{\sqrt 2} n|\geqslant \sin^2(\sqrt 2 n)=\frac 12-\frac 12\cos(2\sqrt 2 n) $$

После чего ряд разбивается на два, один из которых сходится, а другой расходится.

1 курс

bot в сообщении #1059036 писал(а):

1. Из некоторых различных действительных чисел $x,y,z$ образовали три новых числа $x(2-y),\ y(2-z)$ и $z(2-x),$ которые все оказались не меньше 1.
Докажите, что хотя бы одно из исходных чисел отрицательно.

1. Предположим, что $x,y,z\geqslant 0$. Тогда из данных неравенств следует $x,y,z\leqslant 2$. Перемножая данные неравенства, получим $x(2-x)\cdot y(2-y)\cdot z(2-z)\geqslant 1$. Но на отрезке $[0,2]$ функция $x(2-x)$ имеет максимум при $x=1$, равный $1$. Значит, данное неравенство возможно только при $x=y=z=1$ . А это противоречит условию.

[iancaple]

Padawan в сообщении #1060528 писал(а):

Перемножая данные неравенства, получим $x(2-x)\cdot y(2-y)\cdot z(2-z)\geqslant 1$. Но на отрезке $[0,2]$ функция $x(2-x)$ имеет максимум при $x=1$, равный $1$.

Или AM-GM

$$x(2-x)\cdot y(2-y)\cdot z(2-z)\leqslant \left(\frac{x+2-x+y+2-y+z+2-z}6\right)^6=1$$

Значит, нет либо положительности, либо различности (причем не надо было требовать "различных" а можно "не все равны между собой", ничего ни в одной версии доказательства не изменится)