Олимпиада НГУ - 2015

[mihiv]

2 тур
1 курс

1.
$x_1=8, x_2=25, x_2^k-x_1^k=(x_2-x_1)(x_2^{k-1}+\dots +x_1^{k-1})$ Поэтому $(x_2-x_1)|(p(x_2)-p(x_1))$ , т.е. должно быть $(25-8)|(2015-1)$, но 17 не делит 2014, поэтому такого полинома не существует.

2.
Понятно, что целые значения $x$ нужно искать среди делителей 31 и 41, т.к. $36\pm 5=31$ или 41. Проверка дает следующие решения: (1, 43), (-1, -39), (41, 81), (-41, -81).

Для вузов нематпрофиля
2 тур

3.

Пусть $n$ - степень полинома $p(x)$, тогда степень полинома $q(x)$ равна $2n-3$, а кэффициент при этой степени $x$ равен $n(n-1)(n-2)-n^2(n-1)\ne 0$. То есть $q(x)$ - полином нечетной степени с вещественными коэффициентами и поэтому имеет вещественный корень.