Вычислить пределы

[Руст]

Вычислить пределы:
1)

$$\lim_{n\to \infty }x_n}\sqrt n , \ \ x_0=1, \ x_{n+1}=\sin x_n $$

2)

$$\lim_{n\to \infty }y_nn^{1/4}, \ \ y_0=1, \ y_{n+1}=sin(sin(tg x_n)) .$$

[Brukvalub]

Это шутка? Отношение ограниченной и бесконечно болшой последовательности имеет пределом число 0.

[Руст]

Прошу прощения степени не туда ставил.

[juna]

1) $B=\lim\limits_{n\to {\infty}}\sqrt{n}x_n$
$B^2=nA^2=3!(1-\frac{\sqrt n}{\sqrt{n+1}})n$
$B=\sqrt3$

[Руст]

Я ничего не понял отсюда.

[juna]

$A=\lim\limits_{n\to{\infty}}x_n$,
из уравнения $\sqrt{n+1}sin(A)-\sqrt{n}A=0$ выражаем $A^2$, раскладывая синус в ряд и беря первые два члена.

[Руст]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

$A=\lim\limits_{n\to{\infty}}x_n$,
из уравнения $\sqrt{n+1}sin(A)-\sqrt{n}A=0$ выражаем $A^2$, раскладывая синус в ряд и беря первые два члена.

А равно нулю.

[juna]

Зачем раньше времени смотреть, чему равно $A$
$\sqrt{n+1}sin(A)-\sqrt{n}A=\sqrt{n+1}A-\frac{\sqrt{n+1}A^3}{3!}+...-\sqrt{n}A=0$
сокращая на $A$ и выкидывая величины меньших порядков получаем
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\sqrt{n+1}}{3!}A^2$
Предел $\lim\limits_{n\to{\infty}}n(1-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})=1/2$

[Руст]

Именно из-за А=0 нельзя сокращать. Ваше решение конечно можно исправить, взяв вместо А $A_n, \ A_{n+1}$. Но это потребует дополнительных выкладок типа доказательства что этот предел равен нулю, а предел отношения последующих членов 1.

[juna]

А мне говорили, что в математическом анализе на нуль делить можно
Решение конечно небрежное, но ответ верен и не очень зависит от начальных условий $x_0=1$

[Руст]

В обоих случаях ответ от начальных условий зависит только через знвк первого члена, если первый член 0 ответ ноль, положительный, то этот, отрицательный эта величина со знаком минус.

[juna]

Мне кажется, что ответ не изменится для промежутка $0<x_0<=\pi/2$
Второй пример, поэтому мало отличается от первого и требует уточнения ($x_n$ закралось).

[Юстас]

Перед тем как вычислять нужно еще показать, что предел существует. Или я чего-то не заметил?

[незваный гость]

Лично у меня острый приступ déjà vu. Не один в один, но различия пренебрежимы…

[Руст]

Прошу прощения, помню, что на другом форуме давал эту задачу, а то, что здесь давал, забыл.