Матричное уравнение

[provincialka]

karandash_oleg в сообщении #1057732 писал(а):

Спасибо большое! Так вроде как вот оно решение уже или я что-то не так понял?

Хм... Что конкретно - "решение"? Вы бы выписали Ответ! Тогда ясно будет, он это или не он!

[karandash_oleg]

provincialka в сообщении #1057735 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #1057732 писал(а):

Спасибо большое! Так вроде как вот оно решение уже или я что-то не так понял?

Хм... Что конкретно - "решение"? Вы бы выписали Ответ! Тогда ясно будет, он это или не он!

Ответ:

$$\left\{ \begin{array}{lcl} a&=& 1-C_1\\ b&=&\frac{1-C_1-(1-C_1)^2}{C_2} \\ c&=& C_2\\ d&=& C_1\\ \end{array} $$

Или же вторая ситуация: $a=1,b=c=0,d=1$

[provincialka]

Внимательно не вглядывалась, но примерно так. А, нет! Вы нулевую матрицу пропустили!

А можно сказать еще и по-другому. Решениями являются
1) нулевая матрица,
2) единичная матрица,
3) все матрицы с единичным следом и нулевым определителем.

[karandash_oleg]

provincialka в сообщении #1057747 писал(а):

Внимательно не вглядывалась, но примерно так. А, нет! Вы нулевую матрицу пропустили!

А можно сказать еще и по-другому. Решениями являются
1) нулевая матрица,
2) единичная матрица,
3) все матрицы с единичным следом и нулевым определителем.

Хорошо, спасибо!

[arseniiv]

Munin в сообщении #1057725 писал(а):

Я по вашим ключевым словам боюсь ходить: заинтересуешься частным ответом на частный вопрос, а там сначала надо теории прочитать килограмма три Я уже с "теорией Галуа" напарывался, долго ещё не сунусь...

Ну я почитал про грассманиан, простая штука выходит. Это обобщение проективного пространства: $\mathrm{Gr}_k(V)$ — пространство всех $k$-мерных линейных подпространств $V$, параметризуется $\binom nk$ однородными координатами. Я даже понял про изоморфизм с $\mathrm O(n)/(\mathrm O(k)\times\mathrm O(n-k))$.

-- Ср сен 30, 2015 05:18:15 --

(Это «раз Munin не идёт к грассманиану, мы притащим грассманиан». )

[Munin]

Спасибо, но не торопитесь (не торопите) :-) Я уже созрел для этого. По какой ссылке вы читали?

sergei1961
Спасибо большое за доклад С.И. Гельфанда!

Оказывается, эта штука с матрицами почти не разработана. Точнее, Гельфанд (С.И., что бы не путать его с И.М. (отцом?)) изучил квадратные уравнения над матрицами $2\times 2,$ но не полностью: о некоторых деталях говорит "по-видимому". И, как он говорит, это вещь очевидная для изучения ещё с 19 века, чуть ли не с начала, но вот как-то пропущенная вниманием мировой науки.

Так что, если мы добьём матрицы $2\times 2$ (те самые детали), и/или поймём ситуацию с матрицами $3\times 3,$ $4\times 4,$ это внезапно может стать новым результатом :-) Впрочем, доклад С.И. Гельфанда от 2000 года, с тех пор он и сам мог что-то доделать.

И ещё, типа, не стоит очень заноситься с матрицами. Бо́льшую часть доклада С.И. Гельфанд посвящает вообще некоммутативной алгебре, так что результаты, полученные там, для матриц справедливы автоматически. Ну, математики, они такие, им лишь бы дай что пообобщать :-)

-- 30.09.2015 12:15:46 --

В частности, меня заинтересовал после этого доклада довольно "банальный" вопрос, как выглядит ГМТ решений уравнения $x^2+px+q=0$ в пространстве $(x,p,q)$ (в докладе это обобщается на пространтва матриц). В частности, мне что-то кажется, что если из координаты $p$ извлечь корень, то в пространстве $(x,\sqrt{p},q)$ это получится конус. Хотя я ещё не понял, какой формы конус. Тут корни тянутся в алгебраическую геометрию, которую я ни шиша не знаю; наверняка в ней такие фигуры ("конусы" непервой степени по координатам) как-то называются.

[sergei1961]

Munin-если Вам интересно, то могу переслать, что у меня есть из литературы по уравнению Риккати. Там есть целая книга-Егорова. Есть и другие. Что в ней есть ошибки говорил мне Евгений Радкевич. Есть теория дифференциальных уравнений Риккати, она связана с матричными, там тоже много чего есть.

[Xaositect]

Munin в сообщении #1057826 писал(а):

В частности, меня заинтересовал после этого доклада довольно "банальный" вопрос, как выглядит ГМТ решений уравнения $x^2+px+q=0$ в пространстве $(x,p,q)$ (в докладе это обобщается на пространтва матриц). В частности, мне что-то кажется, что если из координаты $p$ извлечь корень, то в пространстве $(x,\sqrt{p},q)$ это получится конус. Хотя я ещё не понял, какой формы конус. Тут корни тянутся в алгебраическую геометрию, которую я ни шиша не знаю; наверняка в ней такие фигуры ("конусы" непервой степени по координатам) как-то называются.

Это же поверхность второго порядка, тут все можно посчитать и получится гиперболический параболоид с образующими $x = a, a(p + x) + q = 0$ и $p + x = a, ax + q = 0$

[Munin]

Позор мне. Параболоида перепугался.

sergei1961
Понимаете, меня сами слова "уравнение Риккати" пугают :-) Если бы речь шла о квадратном уравнении - я бы смелее был.

[sergei1961]

Так для матриц это и есть квадратное уравнение, что в статье в Глобусе обыграно. Меня по первому прочтению когда-то тоже закосило: я начал строить все формы матричного квадратного уравнения, насчитал их с десяток, а для чисел то-одна...

[g______d]

Со скалярными коэффициентами вариант только один. Не понимаю, зачем в эту тему приплетать матричные коэффициенты.

[Munin]

g______d в сообщении #1057874 писал(а):

Не понимаю, зачем в эту тему приплетать матричные коэффициенты.

Видимо, опять же, чтобы перейти к уравнению в некоммутативной алгебре.

[provincialka]

Munin
А можно это делать в новой теме? Ведь задача интересная, а здесь ее могут не заметить... (ну, следующие поколения)

[sergei1961]

ладно, сейчас сделаю тему.

[g______d]

Я, кстати, про грассманиан сказал неправильно; то, что я написал, — это просто грассманиан. Я не знаю, как просто описать пару трансверсальных подпространств. Это должно быть открытое подмножество произведения двух грассманианов, но нужно выкинуть все случаи, когда соответствующие пространства имеют ненулевое пересечение. Возможно, это соответствует обращению в нуль какого-то определителя, записываемого через координаты Плюккера, но я не думал про это.