Ой, может быть да ну его? Может быть лучше пойти и порешать Киселева с Галицким?
Мысль похвальная, но давайте уж добьём. Во-первых, проверим разумность ответа из учебника по размерности. Единицы вроде как безразмерные, проверить размерность вроде как невозможно, но исхитримся. Единственная величина, через которую все выражается это

. Будем считать

безразмерной величиной. Поскольку

, то все "размерности" проистекают от

и

. Стало быть, правильный ответ должен содержать два слагаемых: одно пропорциональное

, а другое -

. Смотрим, и видим, что ответ в учебнике похож на настоящий. К стати, по дороге мы почти решили задачу не взяв ни одного интеграла.
Теперь о том, куда же у Вас делся правильный ответ. Кажется мне, что Вы забыли:
1. Нормировочный множитель при

. Ведь

не даст

.
2. Те

, что получаются от дифференцирования

по

.