Следует ли из "конечной" линейности оператора "бесконечная"

[Otta]

Ответ явным образом фигурировал несколько раз в теме. Может, стоит ее прочитать? )

(Откуда появились ограниченные суммы, я не рискну спрашивать.)

[Divergence]

То есть достаточно непрерывности оператора?

[Otta]

Кажется, у Вас в стартовом посте было написано, хоть и кривенько, что такое сумма ряда из элементов пространства. Странно, что Вы там же не записали все остальное решение.

[Divergence]

А какие метрики (норма) используется в пространстве аналитической функции?
Для доказательства почленного дифференцирования аналитической функции (степенного ряда внутри промежутка сходимости) у Фихтенгольца том 2 параграф 438 используется просто модуль.

А как доказывается непрерывность оператора дифференцирования?
Не подскажите ссылку.

[Otta]

Слов о непрерывности оператора дифференцирования не говорят, пока не сказано из какого в пространства в какое он действует. Напоминаю, пространство для этих целей - не только линейная структура, но и указание нормы/метрики/полунормы/топологии/еще чего-то. Без этого указания Вы не сможете говорить о непрерывности в принципе, у Вас определения ее не будет.

Что касается аналитических функций, то вопросы возникают уже в самом начале. Аналитические где? Какое линейное пространство?

[Divergence]

И непрерывность оператора дифференцирования и пространство аналитических функций:

Меня интересуют вещественно-значные функции $f(x)$ ($x \in \mathbb{R}$), представимые степенными рядами с бесконечным радиусом сходимости

$$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty). $$

В начале темы с акцентировал на это.

А какие метрики (норма) используется в пространстве таких функции?
Для доказательства почленного дифференцирования аналитической функции (степенного ряда внутри промежутка сходимости) у Фихтенгольца том 2 параграф 438 используется просто модуль.

А как доказывается непрерывность оператора дифференцирования на пространстве таких функций?
Не подскажите ссылку.

[demolishka]

Дифференциальные операторы почти никогда не бывают непрерывными если на их области определения и образе заданы естественные(для этих пространств) топологии. Поэтому ответ на вопрос

Divergence в сообщении #1057494 писал(а):

А какие метрики (норма) используется в пространстве таких функции?

зависит от целей, которые Вы преследуете.

[Otta]

Divergence
Я правильно понимаю, что Вы собираетесь суммировать счетное число целых функций? А откуда у Вас уверенность, что результат будет целым?

[Brukvalub]

(Оффтоп)

У меня при чтении этой ветки уже давно крутится в голове строчка из песни Сереги "Черный бумер":
"Ребята местны горьку пьют не знают фитнеса
Всё потому, что перспективы нет и бизнеса"...

[Divergence]

Последний вопрос был простым (2 курс матана без экзотики) - про почленное дифференцирование степенного ряда (например, с бесконечным радиусом сходимости) и все (Brukvalub - бумер был миражом).

Как доказать это свойство степенного ряда, но выделяя "непрерывность оператора дифференцирования" и метрику (норму) на пространстве таких рядов (функций),
и как выглядит доказательство "непрерывность оператора дифференцирования"

Например, берем доказательство почленного дифференцирования аналитической функции (степенного ряда внутри промежутка сходимости) у Фихтенгольца том 2 параграф 438:
1) используется просто модуль в качестве метрики (или я не прав?) какие еще метрики для этого используются;
2) не упоминается "непрерывность оператора дифференцирования" (нужна ли она там, как она доказывается, в какой части доказательства она используется).

[Otta]

Divergence
1) Модуль - это метрика в $\mathbb R$ и больше нигде.
2) Непрерывность оператора дифференцирования для доказательства этого результата не нужна, поскольку она в нем, по сути, доказывается.
3) Зачем Вам

Divergence в сообщении #1057571 писал(а):

это свойство степенного ряда, но выделяя "непрерывность оператора дифференцирования"

?
4) При чем тут стартовый пост? Или он уже устарел?

[Divergence]

Стартовый пост: ответ - "пиши аккуратно" определение бесконечной суммы, норма, непрерывность оператора.
Упрощенный вопрос - для меня это "toy model" стартового вопроса. Хочется там аккуратно написать.

"1) Модуль - это метрика в $\mathbb R$ и больше нигде."
Вопрос - Нужна ведь метрика для функций (степенных рядов) - причем здесь $\mathbb R$.
Вы имеете в виду, что раз эта функция $f: \quad \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, то достаточно модуля?

"2) Непрерывность оператора дифференцирования для доказательства этого результата не нужна, поскольку она в нем, по сути, доказывается."
Вопрос - "она в нем, по сути, доказывается" - не понятно.

В качестве "toy model": Можно ведь сказать так: доказываем непрерывность оператора дифференцирования на линейном пространстве функций $f_n=x^n$ ($x \in \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{N}$), а потом используя метрику (модуль, наверное) и непрерывность оператора дифференцирования (как аккуратно написать доказательство этой непрерывности?), строим доказательство почленного дифференцирования степенного ряда (бесконечной суммы функций $f_n=x^n$).

[Otta]

Елки. Это невозможно. Вы какие книги прочитали по аналитическим функциям и функциональному анализу, прежде чем задавать эти вопросы?

Введите, пожалуйста, метрику-"модуль" на пространстве (аналитических функций?), как Вы это себе представляете.

Запишите определение непрерывности оператора дифференцирования, как Вы ее себе хотите видеть, и определение этой самой непрерывности в Вашей метрике.

И не будет понятно, пока Вы ищете ответов на эти вопросы на стороне.

[Divergence]

Вот утверждение, для которого хочется аккуратно написать доказательство:

Если ряд $\sum^{\infty}_{n=1} f_n(x)$ из функций $f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, дифференцируемых на ограниченном выпуклом множестве $X \subset \mathbb{R}$ сходится хотя бы в одной точке $x_0 \in X$, а ряд $\sum^{\infty}_{n=1} f'_n(x)$ сходится равномерно на $X$, то

$$ A \left(\sum^{\infty}_{n=1} f_n(x) \right) =\sum^{\infty}_{n=1} A f_n(x) \qquad (A:=\frac{d}{dx})$$

Метрика нужна (наверное) $\|f_n\| =\sup_{x \in X}|f_n(x)|$ (Фихтенгольц обошелся без нее).

[Otta]

В равномерной метрике оператор дифференцирования не является непрерывным. Кстати, у Вас норма, а не метрика, но в данном случае без разницы. Все равно не является.