Следует ли из "конечной" линейности оператора "бесконечная"

[Divergence]

И? Когда выполняется "бесконечная" линейность, а когда нет? Каковы ограничения на оператор? Достаточно ли ограниченности?

[Brukvalub]

Divergence в сообщении #1057412 писал(а):

И?

Какая норма (метрика) и в каком линейном пространстве ЗАРАНЕЕ введена? Опишите ее, в сотый раз предлагаю. Иначе с вами не о чем говорить!

[Divergence]

$$||x||=\left(\sum^{\infty}_{n=1} |x_{n}|^2 \right)^{1/2}$$

$$||x_{k}||=\left(\sum^{\infty}_{n=1} |x_{k,n}|^2 \right)^{1/2}$$

[Brukvalub]

Divergence в сообщении #1057380 писал(а):

Берем "бесконечную" линейную комбинацию этих функций $\sum^{\infty}_{k=1} x_{k,n} $.

Что это за объект? Какому линейному пространству он принадлежит?

[Divergence]

$l_2$. Или я неправ?

[Otta]

Divergence в сообщении #1057428 писал(а):

$l_2$. Или я неправ?

Обоснуйте, пожалуйста.

[Divergence]

Наверное, так: $l_2$ сепарабельное гильбертово пространство и оно совпадает со своим замыканием.

[Otta]

Извините, я не очень понимаю, как связаны начало фразы и ее вторая половина, и какое все это имеет отношение к обоснованию требуемого.

[Divergence]

$x=\{x_n\} \in \l_2$, $x_k=\{x_{k,n}\} \in \l_2$
$\sum^{\infty}_{k=1} x_k$ -сумма бесконечного числа элементов пространства $\l_2$.
Так как $\l_2$ - сепарабельное гильбертово пространство, то можно разложить по базису и получить новый элемент, коэффициенты которого являются (бесконечными) суммами (числовыми рядами) коэффициентов $x_k$.
Вы хотите сказать, что эти ряды могут расходится и поэтому бесконечная сумма будет вне $l_2$?

[Otta]

Давайте. Не забудьте еще сумму определить попутно. Как тут многократно уже намекали, это какой-то предел. Какой? По какой норме?

-- 28.09.2015, 23:28 --

Divergence в сообщении #1057443 писал(а):

Вы хотите сказать, что эти ряды могут расходится и поэтому бесконечная сумма будет вне $l_2$?

Ну а почему нет? даже обычным числовым рядам расходиться никто не запрещал, и есть целая масса необходимых или достаточных условий сходимости.

[Divergence]

$\|\sum^{\infty}_{k=1} x_{k}\| \le \sum^{\infty}_{k=1} \|x_{k}\|$
вы намекаете, что справа может получатся бесконечность?
и поэтому $\sum^{\infty}_{k=1} x_{k}$ может не принадлежать $l_2$?

[Otta]

Я, и не только, намекаем на то, что даже левая часть этого неравенства Вами пока не определена.

[Divergence]

Да согласен.
Предлагаю ограничится бесконечными суммами, для которых $\sum^{\infty}_{k=1} x_{k} \in l_2$, т.е. $\|\sum^{\infty}_{k=1} x_{k}\| <\infty$

Теперь берем линейный оператор $A$ на $l_2$.
Если $\|\sum^{\infty}_{k=1} A x_{k}\| <\infty$ для всех ограниченных бесконечных сумм, то тогда будет выполняться "бесконечная" линейность (на множестве таких сумм)?

Не знаю образуют ли такие суммы подпространство.

[Otta]

Divergence в сообщении #1057452 писал(а):

Не знаю образуют ли такие суммы подпространство.

Проверьте.
И, мне кажется, уже достаточно писать самопальный термин "бесконечная линейность" в том месте, где отродясь говорились слова про линейность и непрерывность.

[Divergence]

Если $\|\sum^{\infty}_{k=1} A x_{k}\| <\infty$ для всех ограниченных бесконечных сумм, то тогда будет выполняться "бесконечная" линейность (на множестве таких сумм)?