Следует ли из "конечной" линейности оператора "бесконечная"

[Divergence]

Линейный оператор $A$ на линейном пространстве $L$ удовлетворяет свойству

$$ A (a_1 f_1+a_2 f_2) = a_1 \, A \, f_1+a_2 \, A \, f_2 \quad ( \forall a_1,a_2 \in \mathbb{R} \quad \forall f_1,f_2 \in L).$$

Отсюда следует

$$ A \left( \sum^N_{k=1} a_k \, f_k \right) = \sum^N_{k=1} a_k \, A \, f_k \quad ( \forall a_k \in \mathbb{R}, \quad N< \infty, \quad \forall f_k \in L).$$

Всегда ли из этой "конечной" линейности следует "бесконечная" линейность:

$$ A \left( \sum^{\infty}_{k=1} a_k \, f_k \right) = \sum^{\infty}_{k=1} a_k \, A \, f_k \quad (a_k \in \mathbb{R}, \quad \forall f_k \in L ) \quad ?$$

Где здесь спрятаны подвохи? или их нет?

Меня интересует в качестве линейного пространства $L$:
(1) линейное пространство вещественно-значных функций $x \in \mathbb{R}$, представимых в виде степенного ряда с бесконечным радиусом сходимости

$$f(x):=\sum^{\infty}_{n=0} c_n \, x^n \quad (|x|<\infty), $$

(2) линейное пространство квадратично-суммируемых последовательностей $f \in l_2(\mathbb{R})$.


По моему не всегда. Например,

$$ A \left( \sum^{\infty}_{k=1} f_k \right) = \sum^{\infty}_{n=1} \sum^{\infty}_{k=1} b_{k,n} \, x^n \quad \sum^{\infty}_{k=1} A \, f_k = \sum^{\infty}_{k=1} \sum^{\infty}_{n=1} b_{k,n} \, x^n $$

а в общем случае использовать

$$ \sum^{\infty}_{n=1} \sum^{\infty}_{k=1} b_{k,n} \, x^n \ne \sum^{\infty}_{k=1} \sum^{\infty}_{n=1} b_{k,n} \, x^n $$

или я неправ?

Возможно необходима ограниченность оператора на $l_2$, чтобы "бесконечная" линейность выполнялась в $l_2$.
Однако мне не понятно, достаточно ли этого условия или нужно какие-либо дополнительные условия, (например для перестановочности суммирования).

Бесконечная сумма интересна в смысле $\sum_{k=1}^\infty f_k =\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N f_k$ и суммирование в смысле Чезаро и Абеля для последовательностей.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

Вы про непрерывные операторы слышали?

[Divergence]

Насколько помню для непрерывности оператора в $l_2$ необходимо и достаточно ограниченности .

[demolishka]

Ваш вопрос ровным счетом в том, верно ли, что из сходимости $a_n \to a$ следует сходимость $A(a_n) \to A(a)$. А это и есть непрерывность в случае нормированных пространств(или более общо - в пространствах с первой аксиомой счетности).

[Divergence]

А разве здесь не возникает проблем неперестановочности сумм в общем случае

$$ \sum^{\infty}_{n=1} \sum^{\infty}_{k=1} b_{k,n} \ne \sum^{\infty}_{k=1} \sum^{\infty}_{n=1} \ b_{k,n} \quad ?$$

[demolishka]

Не понятно что такое $b_{k,n}$ и какое отношение они имеют к оператору $A$.

[Brukvalub]

Divergence в сообщении #1057362 писал(а):

А разве здесь не возникает проблем неперестановочности сумм в общем случае

$$ \sum^{\infty}_{n=1} \sum^{\infty}_{k=1} b_{k,n} \ne \sum^{\infty}_{k=1} \sum^{\infty}_{n=1} \ b_{k,n} \quad ?$$

Вы сначала определите ту норму (метрику), по которой рассматривается сходимость , а уж потом что-нибудь там переставляйте.

[Divergence]

Есть $k\in\mathbb{N}$ функций $x_{k,n}$.
Оператор $A$ действует как

$$A x_{k,n} = \sum^{\infty}_{m=1} b_{n,m} x_{k,m} $$

Берем "бесконечную" линейную комбинацию этих функций $\sum^{\infty}_{k=1} x_{k,n} $.
Вопрос о "бесконечной" линейности

$$ A \left( \sum^{\infty}_{k=1} x_{k,n} \right) = \sum^{\infty}_{k=1} A x_{k,n} ?$$

Используя

$$ A \left( \sum^{\infty}_{k=1} x_{k,n} \right) = \sum^{\infty}_{m=1} b_{n,m} \sum^{\infty}_{k=1} x_{k,m} $$

$$ \sum^{\infty}_{k=1} A x_{k,n} = \sum^{\infty}_{k=1} \sum^{\infty}_{m=1} b_{n,m} x_{k,m}$$

сводится к вопросу о оперестановочности сумм

$$ \sum^{\infty}_{k=1} \sum^{\infty}_{m=1} b_{n,m} x_{k,m} = \sum^{\infty}_{k=1} \sum^{\infty}_{m=1} b_{n,m} x_{k,m} \quad ? $$

Например, норма $l_2$.

[Brukvalub]

Divergence в сообщении #1057380 писал(а):

Берем "бесконечную" линейную комбинацию этих функций $\sum^{\infty}_{k=1} x_{k,n} $.

Что это за объект? Он принадлежит рассматриваемому линейному пространству?

[Divergence]

Да квадратично-суммируемых последовательности $x_{1,n}=x_n \in l_2$, $x_{2,n}=y_n \in l_2$ , $x_{3,n}=z_n \in l_2$ . . .

[Brukvalub]

На такой "аргумент" не нахожу ответа...

[Divergence]

Вроде, ничего особенного. Оператор в пространстве последовательностей линеен

$$ A (a_1 x+a_2 y) = a_1 \, A \, x+a_2 \, A \, y \quad ( \forall a_1,a_2 \in \mathbb{R} \quad \forall x,y, \in l_2).$$

А что если сумма не конечна, а бесконечна?

[DLL]

Цитата:

А что если сумма не конечна, а бесконечна?

То это уже не сумма, а предел