5. На каком этапе могут быть ТФКП и теория доказательств? (Хотелось бы поизучать.)
В курсе теории доказательств ничего такого сильно алгебраического не видел. Так что можете изучать хоть сейчас. К слову, найдете учебник (по теории доказательств), от которого получите удовольствие - порекомендуйте в ЛС (тут это все-таки оффтоп). Я пока курю Клини "Математическая логика", там и теория моделей, и теория доказательств, но они четко разграничены прямо в названиях параграфов. Пробовал Такеути "Теория доказательств", но уж больно занудно написано, да и в общем вывод через секвенции мне не понравился.
Касательно ТФКП - стандартные курсы тоже особой алгебры не содержат, тут скорее нужно знать вещественный анализ (пределы, интегралы, производные, включая частные, и все в таком духе).
СтОит ли изучать "смежные" дисциплины? (Алгебраическая геометрия, алгебраическая теория чисел и т.п.)
А что значит "стоит ли изучать"? Нужны ли они для понимания алгебры? Нет, это вряд ли. В научной традиции название типа "котологическая собакология" означает, что задачи в этой науке берутся из собакологии, а методы их решения - из котологии. То есть алгебраическая теория чисел решает задачи теории чисел методами алгебры, а не наоборот. С ней стоит познакомиться, чтобы знать, где вся эта алгебраическая премудрость используется (у меня вот при изучении алгебры сей вопрос возникает часто, несмотря на ее, алгебры, невероятную красоту).
